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【統計検定1級・過去問】統計数理(2019年11月 問1)

[1] モーメント母関数による期待値と分散

モーメント母関数の一階微分は、

 {\begin{eqnarray}
G'_{X}(t) = \sum_k kt^{k-1} P(X=k) \tag{1}
\end{eqnarray}}

また、

 {\begin{eqnarray}
G'_{X}(t) &=& \frac{d}{dt} E[t^X]  \\
             &=& E\left[\frac{d}{dt} X t^X \right] \\
             &=& E[Xt^{X-1}] \tag{2}\end{eqnarray}}

(1),(2)よりt=1のとき、Xの期待値は、

 {\begin{eqnarray}
E[X] = G_{X}(1) \tag{3}
\end{eqnarray}}

モーメント母関数のニ階微分は、

 {\begin{eqnarray}
G''_{X}(t) &=& \sum_k k(k-1) t^{k-2} P(X=k) \\
              &=& \frac{d}{dt} E[Xt^{X-1}]  \\
              &=& E[\frac{d}{dt} X t^{X-1} ] \\
              &=& E[X(X-1)t^{X-2}] \tag{4}\end{eqnarray}}

同じくt=1とおくと

 {\begin{eqnarray}
G''_{X}(1) = E[X(X-1)] \tag{5}\end{eqnarray}}

Xの分散は、
 {\begin{eqnarray}
V[X] &=& E[X(X-1)] + E[X] - (E[X])^2 \\
          &=&  G''_{X}(1) + G_{X}(1) - (G_{X}(1))^2 \tag{6}\end{eqnarray}}

[2]モーメント母関数による期待値と分散(二項分布)

試行回数n、成功確率pの二項分布B(n,p)確率密度関数は、

 {\begin{eqnarray}
P(X=k) &=& { n \choose k } P^k(1-p)^{n-k} \,(k=0,1, \cdots ,n)  \tag{7}\end{eqnarray}}

モーメント母関数は、

 {\begin{eqnarray}
G_{X}(t) &=& E[t^X] \\
             &=& \sum_{k=0}^{n} P(X=k)t^k \\
             &=& \sum_{k=0}^{n} { n \choose k } p^k (1-p)^{n-k} t^{k}  \\
             &=& \sum_{k=0}^{n} { n \choose k } {pt}^k (1-p)^{n-k} \\
             &=& (pt + (1-p))^n \tag{8}\end{eqnarray}}

最後の等号は二項定理を用いた。[1]と同様に一階微分は、

 {\begin{eqnarray}
G'_{X}(t) &=& \frac{d}{dt} (pt + (1-p))^n \\
             &=& n (pt + (1-p))^{n-1} (pt + (1-p))' \\
             &=& np (pt + (1-p))^{n-1} \tag{9}
\end{eqnarray}}

なので期待値は、

 {\begin{eqnarray}
E[X] &=& G'_{X}(1) \\
          &=& np (pt + (1-p))^{n-1} \\
         &=& np \tag{10}\end{eqnarray}}

また二階微分は、

 {\begin{eqnarray}
G''_{X}(t) &=& n(n-1)p^2 (pt + (1-p))^{n-2} \tag{11}
\end{eqnarray}}

なので分散は、

 {\begin{eqnarray}
V[X] &=& G''_{X}(1) + G_{X}(1) - (G_{X}(1))^2 \\
          &=& n(n-1)p^2 + np - (np)^2  \\
          &=& np(1-p) \tag{12}\end{eqnarray}}

別解:二項分布の再生性

(7)のとき、X_i\,(i = 1,2,)\cdots,n)は独立に二項分布B(n,p)に従うとする。このときP(X_i = 1)=p,P(X_i = 0)=1-pであり、モーメント母関数は、

 {\begin{eqnarray}
G_{X_i}(t) &=& E[t^{X_i}] \\
                 &=& pt + (1-p)×t^{0} \tag{13}\end{eqnarray}}

X = X_1 + X_2 + \cdots + X_nなので

 {\begin{eqnarray}
G_{X}(t) &=& E[t^X] \\ &=& E[t^{X_1}+t^{X_2} + \cdots + t^{X_n}] \\
             &=& E[t^{X_1}] + \cdots E[t^{X_n}] \\
             &=&  \left( pt + (1-p) + \cdots + pt + (1-p) \right) \\
             &=& (pt + (1-p))^n
 \tag{14}\end{eqnarray}}

(9)~(12)と同様に期待値と分散を求める。

[3] チェビシェフの不等式(離散型確率変数の場合)

r>0,0 < t \leq 1において、モーメント母関数を、密度関数の積分区間を区切って表す。

 {\begin{eqnarray}
G_{X}(t) &=& E[t^X] \\
             &=& \sum_{k=0}^{n} P(X=k)t^k \\
             &=& \sum_{k \leq r}^{n} P(X=k)t^k +   \sum_{k > r}^{n} P(X=k)t^k \\
             &\geq& \sum_{k \leq r}^{n} P(X=k)t^k \\
             &>& \sum_{k \leq r}^{n} P(X=k)t^r \\
             &=& t^r P(X \leq r)   \tag{15}\end{eqnarray}}

[4] 確率密度関数の最小値

[2][3]より、 0 < t \leq 1においてr = an (0 < a < p)とすると、

 {\begin{eqnarray}
P(X \leq an) &\leq& t^{-an} G_X(t) \\
                    &=& t^{-an} (pt + (1-p))^n \\
                    &=& (pt^{1-a} + t^{-a}(1-p))^n   \tag{16}\end{eqnarray}}

(14)の右辺をg(t)とおき、一階微分を行うと、

 {\begin{eqnarray}
g'(t) &=& (1-a) pt{-a} - at^{-a-1}(1-p) \\
       &=& t^{-(a+1)} \{p(1-a)t - a(1-p)\}   \tag{17}\end{eqnarray}}

したがってt=\frac{a(1-p)}{p(1-a)}のときg'(t) = 0となり、g(t)は最小値をとる。

ちなみに
 {\begin{eqnarray}
p(1-a) - a(1-p) &=& p-pa-a-ap  \\
                       &=&  p- a > 0  \tag{18}\end{eqnarray}}

となるで0 < \frac{a(1-p)}{p(1-a)} < 1を満たす。モーメント母関数にt=\frac{a(1-p)}{p(1-a)}を代入すると、

 {\begin{eqnarray}
G_{X}\left(\frac{a(1-p)}{p(1-a)}\right) &=& \left( p・\frac{a(1-p)}{p(1-a)} + (1-p) \right)^n \\
                                                          &=& \left( a(1-p) +(1-p) \right)^n \\
                                                          &=& \left( (1-p)(a+1) \right)^n \\
                                                          &=& \left( \frac{(1-p)}{(1-a)}\right)^n  \tag{19}\end{eqnarray}}


(14),(19)より、
 {\begin{eqnarray}
P(X \leq an) &\leq& t^{-an} \left(pt^{1-a} + t^{-a}(1-p)\right)^n \\
                    &=& \left( \frac{a(1-p)}{p(1-a)} \right)^{-an} \left( \frac{1-p}{1-a} \right)^n \\
                     &=&  \left( \frac{p}{a}\right)^{an} \left( \frac{1-p}{1-a} \right)^{(1-a)n} 
 \tag{20}\end{eqnarray}}

証明終わり。

別解:密度関数の対数微分

g(t)の対数をとって微分し、最小値を取るtを求めてもよい。

参考文献

日本統計学会公式認定 統計検定 1級・準1級 公式問題集[2018〜2019年]

日本統計学会公式認定 統計検定 1級・準1級 公式問題集[2018〜2019年]

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弱点克服 大学生の確率・統計

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