統計検定1級の学習メモ。代表的な確率分布について。
離散型確率分布
2項分布
ベルヌーイ試行とベルヌーイ分布
2項分布はベルヌーイ試行に基づく分布。ベルヌーイ試行は、確率で「成功」、確率
で「失敗」する実験を指し、確率変数
は「成功」のとき1、「失敗」のとき0をとる。確率関数は、
より、
確率変数がベルヌーイ分布に従うことを、
と表す。
ベルヌーイ分布の平均と分散は、
ベルヌーイ試行の一般化による2項分布の導出
確率の独立なベルヌーイ試行を
回繰り返すとき、確率変数
の総和
は2項分布に従う。
に対して
回「成功」、
回「失敗」となる確率
は、
これを2項分布といい、確率変数が2項分布に従うことを
と表す。
2項分布の平均は、先ほどの密度関数と2項定理を使います。
同様に、
したがって分散は、
ベルヌーイ分布の平均と分散に、それぞれ試行回数のを乗じた値となります。
最尤推定量
確率変数が互いに独立に同一のベルヌーイ分布
に従うと仮定する。確率変数の実現値を
とする。
尤度関数は、
尤度関数の対数をとり、
両辺をで微分してゼロとおくと、
上式を満たす推定量は、
つまり最尤推定量は標本平均と等しくなる。
フィッシャー情報量
フィッシャー情報量を求める。
分散をとると
連続型確率分布
指数分布
ガンマ分布
指数分布とガンマ分布
のとき指数分布の分布関数となる。
平均と分散
したがって分散は、