統計検定1級の学習メモ。代表的な確率分布について。
離散型確率分布
2項分布
ベルヌーイ試行とベルヌーイ分布
2項分布はベルヌーイ試行に基づく分布。ベルヌーイ試行は、確率で「成功」、確率で「失敗」する実験を指し、確率変数は「成功」のとき1、「失敗」のとき0をとる。確率関数は、
より、
確率変数がベルヌーイ分布に従うことを、と表す。
ベルヌーイ分布の平均と分散は、
ベルヌーイ試行の一般化による2項分布の導出
確率の独立なベルヌーイ試行を回繰り返すとき、確率変数の総和は2項分布に従う。に対して回「成功」、回「失敗」となる確率は、
これを2項分布といい、確率変数が2項分布に従うことをと表す。
2項分布の平均は、先ほどの密度関数と2項定理を使います。
同様に、
したがって分散は、
ベルヌーイ分布の平均と分散に、それぞれ試行回数のを乗じた値となります。
最尤推定量
確率変数が互いに独立に同一のベルヌーイ分布に従うと仮定する。確率変数の実現値をとする。
尤度関数は、
尤度関数の対数をとり、
両辺をで微分してゼロとおくと、
上式を満たす推定量は、
つまり最尤推定量は標本平均と等しくなる。
フィッシャー情報量
フィッシャー情報量を求める。
分散をとると
連続型確率分布
指数分布
ガンマ分布
指数分布とガンマ分布
のとき指数分布の分布関数となる。
平均と分散
したがって分散は、