ポワソンの少数の法則

東京大学出版『統計学入門』第6章の学習メモ。ポワソンの少数の法則（law of small numbers）について。別名ポワソンの極限定理とも呼ばれる。

定義
証明
少数の法則の意味
参考文献

定義

ポワソンの少数の法則は、二項分布の密度関数の極限をとると、ポワソン分布の密度関数に収束する。

${ \begin{eqnarray} \lim_{np = λ,n \to \infty} {}_n \mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x} = \frac{λ^x}{x!}\mathrm{e}^{-λ}\tag{1} \end{eqnarray} }$

ポワソン分布は単位時間あたりの事象の発生確率の平均 $λ$ が与えられたときの、事象の発生確率を求めるために使われる。

(1)の左辺は $np=λ$ とした場合の $n$ の極限であることに注意したい。 $λ$ は定数（パラメータ）なので、 $n$ が大きくなると $p$ は小さくなる。

$λ$ 、 $n$ 、 $p$ はそれぞれ何を意味するのか。

$λ$ は単位時間や単位回数あたりの事象の発生確率の期待値（平均）。事象とは、例えば1時間あたりの地震の発生回数等。

$n$ 、 $p$ はそれぞれ二項分布における試行回数と事象の発生確率であり、 $np$ は二項分布の期待値（平均）。

二項分布は $n$ と $p$ の2つのパラメータで規定されるのに対し、ポワソン分布は1つのパラメータ $λ$ によって規定される。

証明

(1)の左辺を展開すると、

${ \begin{eqnarray} \lim_{np = λ,n \to \infty} {}_n \mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x} &=& \lim_{np = λ,n \to \infty} \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p)^{n-x} \\ &=& \lim_{np = λ,n \to \infty} \frac{n!}{x!(n-x)!} \left(\frac{λ}{n}\right)^x \left(1 - \frac{λ}{n}\right)^{n-x} \\ &=& \lim_{np = λ,n \to \infty} \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-x+1}{n} \cdot \frac{1}{x!} λ^x \left(1 - \frac{λ}{n}\right)^{n-x} \\ &=& \frac{λ^x}{x!}\mathrm{e}^{-λ} \tag{2} \end{eqnarray} }$

最後の等号では、 $n$ が無限大となり、 $\frac{1}{x!}$ 以外の分数部分はすべて1になりキャンセルアウトされる。
また、指数関数の極限の性質を用いている。

少数の法則の意味

少数とは、発生確率は小さい、つまり滅多に起こらない事象という意味である。『統計学入門』によると、初めてポワソン分布が用いられたのは「馬に蹴られて死んだ兵士の数」を見積もるためであり、観測単位（軍団の数）あたりの死んだ兵士の数の期待値が、 $λ=0.61$ のポワソン分布にあてはまった。試行回数は大きいものの、成功確率の小さな事象の期待値はポワソン分布で近似できる。ただし、発生確率の低い事象の発生件数がポワソン分布に従う、と解釈するのは間違いである。単位時間当たりの発生件数の多い、つまり $λ$ が十分に大きなポワソン分布も存在しうる。