Goodな生活

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環境エネルギー分野のシンクタンク職員による統計学や計量経済学のメモ、読んだ本、たまに登山や音楽の話。

数学

複素数の性質(ド・モアブルの定理)【第327回数学検定1級】

はじめに 先週の日曜日、数学検定を受験した。研究を続ける上での基礎体力として数学力を磨くことは必須である。個人で学習を進める上での目安や目標があった方が身に入ると思い、受験を決めた。受験後に解き方を調べたため、備忘のためのメモを書く。 問題 …

コーシー・シュバルツの不等式

コーシー・シュバルツの不等式 すべての実数空間上の点について、次が成り立つ。 はベクトルxの長さであり、ノルムと呼ばれる。一次元実数空間の絶対値を一般化したもの。 証明 以下の2次方程式を考える。展開すると、となるため、判別式より、 となり、(5)…

閉集合の性質

ある集合が閉集合であるとき、集合に含まれる点列が極限に収束する、という性質を証明します。

有界な集合とコンパクト集合

有界な集合、コンパクト集合について。 定理(Sundaram(1996) Theorem 1.21) Theorem 1.21 A set is compact if and only if it is closed and bounded. 集合 がコンパクトであるとき、有界かつ閉集合である。 有界な集合とコンパクト集合の定義 集合 が有…

球と集合

球と集合について。 球の定義 開球(open ball) 開球は、実数空間上の中心と半径に対して、以下で定義される集合。言い換えれば、からの距離が厳密により小さくなるような実数空間における点の集合である。(1)の不等号を等号に変えると、閉球(closed ball)の…

極限の一意性の証明

極限の一意性の証明について。極限とは、数列の収束先を表す。2通りの証明を考える。 数列の収束先が2つあると仮定し、矛盾を導く(背理法) 次元実数空間における数列がある値に収束するとき、が同時にではないに収束することの矛盾を示す。 (1)が成立する…

コーシー列の性質

コーシー列とは コーシー列(Cauchy sequence)とは、次元実数空間における数列のうち、以下のような性質を満たす数列を指す。この定義は、収束先(limit point)の情報を含まない。 収束する点列がコーシー列であることの証明 まず点列がに収束すると仮定する…

部分列の収束の定理

部分列の収束の定理に関するメモ。 定理(Sundaram(1996) Theorem1.7) Theorem 1.7 A sequence in converges to a limit if and only if for each ,where and 次元ベクトルがに収束するのは、各座標 についてもがに収束する場合のみである。 証明 証明には…