淡路他(2009)「データ同化」の練習問題1.1を解いてみました。
解答例
[i]
推定値は以下の式で表され、バイアス
をもつ。
(a)
推定値の誤差分散は、以下のように表される。
の誤差相関が0の仮定を用いた。
(2)を最小にするを求める。(3)を
について解くと、
最適な係数が求まる。
(1)よりのバイアスは
なので、これに(4)を代入すると具体的なバイアスが求まる。
(b)
(4)を(2)に代入すると、最適推定値の誤差分散が求まる。
本文(1.11)式は
なので(5)と(6)の差分を計算すると、正の値になることが分かる。つまりはバイアスを持つ推定値を用いて作った推定値であるため、そうではない場合に比べて誤差分散が大きくなる。
[ii]
の誤差に相関がある(相関係数は
)場合の最適推定値は、
(a)
相関係数の定義より
(7)の誤差分散は
(9)をで微分して0と置く。
(10)を解くと
(11)を(7)に代入すると最適推定値が得られ、
(11)を(9)に代入すると、誤差分散が得られる。
(b)
のとき、
となり、
のとき、
となりいずれも相関を考慮しない場合の誤差分散よりも値が大きくなる。
感想
誤差に関する不偏性(バイアス0)と無相関の仮定をリラックスした場合の推定値に関する問題。一変数なので丁寧に式展開すれば特段問題ない気がする。回帰分析を勉強したときによくやったような誤差項の仮定と推定量の話とよく似ている。