淡路(2009)『データ同化』練習問題1.1

淡路他(2009)「データ同化」の練習問題1.1を解いてみました。

解答例

[i]

推定値 $x^{\prime}_a$ は以下の式で表され、バイアス $α_{1}η$ をもつ。

$x^{\prime}_a=α_1 x^{\prime}_1+(1-α_1)x_2=α_1 x_1+(1-α_1)x_2+α_{1}η \tag{1}$

(a)

推定値 $x^{\prime}_a$ の誤差分散は、以下のように表される。 $x_1,x_2$ の誤差相関が0の仮定を用いた。

$\begin{eqnarray} {σ_a}^{\prime2}&=&E[(x^{\prime}_a-x_t)^2] \\ &=&E[\{α_1(x_1-x_t)+(1-α_1)(x_2-x_t)+α_{1}η\}^2]\\ &=&α^2_1E[ε^2_1] + (1-α_1)^2 E[ε^2_2] +α^2_{1}η^2 +2α_1(1-α_1)E[ε_{1}ε_{2}]+2(1-α_1)α_{1}η E[ε_{2}] + α^2_{2} η E[ε_{1}] \\ &=&α^2_1E[ε^2_1] + (1-α_1)^2 E[ε^2_2] +α^2_{1}η^2 \\ &=&α^2_1 σ^2_1 + (1-α_1)^2 σ^2_2 +α^2_{1}η^2\tag{2} \end{eqnarray}$

(2)を最小にする $α_{1}$ を求める。(3)を $α_{1}$ について解くと、

$\begin{eqnarray} \frac{\partial {σ_a}^{\prime2}}{\partialα_1} = 2α_1 σ^2_1 - 2(1-α_1)σ^2_2 + 2α_1 η^2 = 0 \tag{3} \end{eqnarray}$

最適な係数 $α_1$ が求まる。

$\begin{eqnarray} α_1 = \frac{{σ_2}^{2}}{{σ_1}^{2}+{σ_2}^{2}+η^2} \tag{4} \end{eqnarray}$

(1)より $x^{\prime}_a$ のバイアスは $α_1 η$ なので、これに(4)を代入すると具体的なバイアスが求まる。

(b)

(4)を(2)に代入すると、最適推定値 $x^{\prime}_a$ の誤差分散が求まる。

$\begin{eqnarray} {σ_a}^{\prime2}　&=& \left(\frac{{σ_2}^{2}}{{σ_1}^{2}+{σ_2}^{2}+η^2}\right)^2 ({σ_1}^2 + η^2) + \left(\frac{{σ_2}^{2}}{{σ_1}^{2}+{σ_2}^{2}+η^2}\right)^2 {σ_2}^2 \\ &=& \frac{σ_2^2(σ_1^2 + η^2)\{σ_2^2 +( σ_1^2 + η^2)\}}{({σ_1}^{2}+{σ_2}^{2}+η^2)^2}\\ &=& \frac{σ_2^2(σ_1^2 + η^2)}{({σ_1}^{2}+{σ_2}^{2}+η^2)} \tag{5} \end{eqnarray}$

本文(1.11)式は

$\begin{eqnarray} {σ_a}^{2}&=&\frac{σ_1^{2} σ_2^{2}}{σ_1^2 + σ_2^2} \tag{6} \end{eqnarray}$

なので(5)と(6)の差分を計算すると、正の値になることが分かる。つまり $x_a$ はバイアスを持つ推定値を用いて作った推定値であるため、そうではない場合に比べて誤差分散が大きくなる。

[ii]

$x_1,x_2$ の誤差に相関がある（相関係数は $μ$ ）場合の最適推定値は、

(a)

$x^{μ}_a=α_1 x_1+(1-α_1)x_2 \tag{7}$

相関係数の定義より

$\begin{eqnarray} μ&=&\frac{Cov[ε_1,ε_2]}{\sqrt{V[ε_1]V[ε_2]}} \\ &=&\frac{E[ε_1,ε_2]}{\sqrt{E[ε^2_1]E[ε^2_2]}}\\ &=&\frac{E[ε_1,ε_2]}{σ_1 σ_2} \tag{8} \end{eqnarray}$

(7)の誤差分散 $(σ^μ_a)^2$ は

$\begin{eqnarray} (σ^μ_a)^2&=&E[(x^{μ}_a-x_t)^2] \\ &=&E[\{α_1(x_1-x_t)+(1-α_1)(x_2-x_t)\}^2]\\ &=&α^2_1E[ε^2_1] + (1-α_1)^2 E[ε^2_2] +2α_1(1-α_1)E[ε_{1}ε_{2}]\\ &=&α^2_1σ_1+ (1-α_1)^2 σ_2 +2α_1(1-α_1)μ σ_1 σ_2\tag{9} \end{eqnarray}$