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【統計学用語】Estimand, Eatimator, Estimatesの違い

統計学・データサイエンス

用語の定義

Estimand （推定対象）：関心のあるパラメータ
Estimator（推定量）：Estimandを導出するためのアルゴリズム
Estimates（推定値）：Estimatorの出力値

OLSにおけるEstimand, Estimator, Estimates

単回帰を最小二乗法（OLS）で推定する場合のEstimand, Estimator, Estimatesの違いを下表に整理します。

$\begin{eqnarray} Y = α + βX_i + e_i \tag{1} \end{eqnarray}$

ここで関心のあるパラメータ（推定対象）は $β$ だとします。

用語	表記	標本対応
Estimand	$\, \, \,β \,\, \, \,\,$	$\frac{Cov[X_i,Y_i]}{Var[X_i]} \tag{2}$
Estimator	$\, \, \,\hat{β}\,\, \, \,\,$	$\frac{\sum^n_{i=1}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum^n_{i=1}(X_i - \bar{X})^2} \tag{3}$
Estimates	-	(3)を観察データを使って計算したもの

標本対応（sample analog）とは、母集団で定義されたパラメータを、標本（観察データ）において満たすような統計量を指します。

(3)の分子と分母はそれぞれ標本共分散と標本分散であり、(2)の分子の母集団の共分散、分母の母集団の分散の推定量です。すなわちEstimator（推定量）は確率変数です。

Estimates（推定値）は観察データを用いてEstimator（推定量）を計算したものです。Estimatesは実数の形をとり、確率変数ではありません。

参考文献

What If 勉強会のチャットで共有いただいた資料です。3用語の定義はこの資料を参考にしています。
diff.healthpolicydatascience.org

計量経済学ミクロデータ分析へのいざない

計量経済学ミクロデータ分析へのいざない

作者:末石直也
発売日: 2015/07/23
メディア: 単行本