【統計検定準1級】時系列解析（1）定常性とホワイトノイズ

時系列データとは
時系列データの基本統計量
- 平均・分散
- 自己共分散
定常性
- 弱定常過程の定義
- 強定常過程との違い
ホワイトノイズ
- iid系列
参考文献

時系列データとは

時系列データ（time-series data）とは、時間の経過とともに観測されたデータ。毎月の消費部下指数や毎日の気温なども時系列データの1種。時系列データには年、月など一定間隔で観測されるものもあれば、株式の日中取引など不規則な間隔で観測されるものもある。ここでは一定の間隔で観測されるデータを扱う。

時系列データの基本統計量

平均・分散

時系列分析においてもクロスセクションデータを扱う場合と同様に基本統計量を用いてデータの要約を行う。期間 $t=1,2,\cdots,T$ の期間で観測される時系列データを $y_1,y_2,\cdots,y_T$ とする。平均と分散は、

$\begin{eqnarray} E[y_t] = μ_t, V[y_t] = σ^{2}_{t} \tag{1} \end{eqnarray}$

自己共分散

同一変数の異なる時点 $y_t,y_{t-h}$ の共分散を自己共分散（autocovariance）と呼ぶ。 $h$ 次（ $h$ 時点離れた）の自己共分散は $γ(h)$ と表される。

$\begin{eqnarray} Cov[y_{t},y_{t-h}] &=& E[(y_{t} - E[y_t])(y_{t-h}-E[y_{t-h}])] \\ &=& γ_{t,h} \tag{2} \end{eqnarray}$

同一変数の相関係数を自己相関係数（autocorelation coefficient）または自己相関と呼ぶ。 $h次$ の自己相関係数は、

$\begin{eqnarray} ρ(y_{t},y_{t-h}) &=& \frac{Cov[y_{t},y_{t-h}] }{\sqrt{V[y_t]V[y_{t-h}] }} \\ &=& \frac{γ_{t,h}}{\sqrt{γ_{t,0}γ_{t,h}}} \\ &=& ρ_{t,h} \tag{3} \end{eqnarray}$

自己相関係数は相関係数の1種であるため-1から1の間の値をとる。自己相関係数をグラフに描いたものがコレログラムである。

定常性

弱定常過程の定義

時系列データの平均と分散が有限であり、平均と自己共分散（自己相関係数も）が観測時点 $t$ に依存しない条件を満たす場合、その系列は弱定常過程（weak stationary process）と呼ばれる。弱定常過程の定義は、

$\begin{eqnarray} E[y_{t}] &=& μ < \infty \tag{4} \\ \\　　　　　 Cov[y_{t},y_{t-h}] &=& E[(y_{t} - μ)(y_{t-h}-μ)] \\ &=& γ_{|h|} \tag{5} \end{eqnarray}$

(5)は観測時点 $t$ に依存せず、 $t$ との時間差（ラグ） $h$ のみに依存する。(5)の $h$ に絶対値が付いているのは、 $t$ に対して $h$ 期前に観測されたものと $h$ 期後に観測されたものとの共分散は等しいため。弱定常過程の条件は、自己相関係数を用いて、

$\begin{eqnarray} E[y_{t}] &=& μ < \infty \tag{6} \\ \\　　　　　 ρ[y_{t},y_{t-h}] &=& ρ_{|h|} \tag{7} \end{eqnarray}$

強定常過程との違い

弱定常過程はデータ間の関係が観測時点 $t$ に依存せず、時間差（ラグ） $h$ のみに依存する過程であるのに対し、強定常過程は $y_t,y_{t-h_1},\cdots,y_{t-h_n}$ のすべての変数の同時分布が観測時点 $t$ に依存せず、 $t$ との時間差（ラグ） $h$ のみに依存することを必要とする。平均と分散が有限な強定常過程は弱定常過程となるが、逆は成立しない。

ホワイトノイズ

iid系列

最も基本的な強定常過程がiid（independently and identically distributed）系列であり、各時点のデータが互いに独立かつ同一の分布に従う系列を意味する。独立性や同一分布性の仮定を緩め、時系列モデルの誤差項 $ε_t$ として扱いやすくした系列がホワイトノイズである。ホワイトノイズの定義は、

$\begin{eqnarray} E[ε_{t}] &=& 0 \tag{8} \\　　　 γ_k &=& E[ε_t,ε_{t-k}] = \left\{\begin{array}{l} σ^2, &k=0& \\ 0, &k≠0& \end{array} \right. \tag{9} \end{eqnarray}$