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淡路(2009)『データ同化』練習問題2.1

解答例

(2.16)の導出

解析誤差共分散行列(本文(2.9))を以下のように変形する。


\begin{eqnarray}
\mathbf{P^a} &=& \mathbf{B} - \mathbf{BH^{T}W^{T}+WRW^{T}-WHB+WHBH^{T}W^{T}} \\
&=& \mathbf{B}-\mathbf{WHB- (BH^{T} - WR - WHB^{T})W^{T}}
\tag{1}
\end{eqnarray}

本文(2.12)を0とおく(\mathbf{P^a}の対角成分(解析誤差分散)の最小化問題を解く)と、


\begin{eqnarray}
\mathbf{-2BH^{T} + 2WR + 2WHBH^{T}} = 0 \tag{2}
\end{eqnarray}

(2)を(1)に代入すると(2.16)を導出できる。


\begin{eqnarray}
\mathbf{P^a} &=& \mathbf{B-WHB} \\
&=& \mathbf{(I-WH)B}
\tag{3}
\end{eqnarray}

(2.15)の導出

重み行列\mathbf{W}は、本文(2.14)と付録(A.11)の逆行列補題を用い、以下のように変形する



\begin{eqnarray}
\mathbf{W} &=& \mathbf{(B^{-1}+H^{T}R^{-1}H)^{-1}H^{T}R^{-1}} \\
&=& \mathbf{BH^{T}(HBH^{T}+R)^{-1}}
\tag{4}
\end{eqnarray}

(4)を(1)に代入して、付録(A.12)の逆行列補題を用いて式変形すると、


\begin{eqnarray}
\mathbf{P^a} &=& \mathbf{(I-(BH^{T}(HBH^{T}+R)^{-1})H)B} \\
&=& \mathbf{B -BH^{T}(HBH^{T}+R)^{-1}HB } \\
&=& \mathbf{(H^{T}R^{-1}H+B^{-1})^{-1}}
\tag{5}
\end{eqnarray}

(5)の逆行列をとると、(2.15)を導出することができる。


\begin{eqnarray}
\mathbf{(P^a)^{-1}} &=& \mathbf{B^{-1} + H^{T}R^{-1}H}

\tag{6}
\end{eqnarray}

感想

難しい式変形は付録の補題に頼った形。