淡路(2009)『データ同化』練習問題1.3

(1.21)、(1.22)式を使って(1.23)式を導出する。

$\begin{eqnarray} R(x_a) &=& \int (x_a - \bar{x} + \bar{x} - x)^2 p(x|x_2) dx \\ &=& (x_a - \bar{x})^2 \int p(x|x_2) dx + 2(x_a - \bar{x}) \left\{ \int \bar{x} p(x|x_2) dx - \int x p(x|x_2) dx \right\} + \int ( \bar{x} - x)^2 p(x|x_2) dx \\ &=& (x_a - \bar{x})^2 + 2(x_a - \bar{x}) \left\{ \bar{x} \int p(x|x_2) dx - \bar{x} \right\} + \int ( \bar{x} - x)^2 p(x|x_2) dx\\ &=& (x_a - \bar{x})^2 + \int ( \bar{x} - x)^2 p(x|x_2) dx \tag{1} \end{eqnarray}$

最後の式展開は二項目がゼロになることを用いた。