【統計検定1級・過去問】統計数理（2019年11月問4）

[1]検定のサイズ（α）の導出

サイズ（第1種の過誤確率： $α$ ）とは、帰無仮説（ $H_0$ ）が正しいにもかかわらず帰無仮説（ $H_0$ ）を棄却してしまう確率。棄却域を $R$ とすると、 $α = P(R|H_0)$ と表すことができる。

したがって、帰無仮説（ $H_0:θ = 0$ ）の条件下において、 $R=\{x: 1 < x < 3\}$ の範囲で密度関数を積分すればよい。

${\begin{eqnarray} α &=& \int_{1}^{3} \frac{1}{π\{1+x\}^2}dx \\ &=& \frac{1}{π} \left[ tan^{-1} x\right]_{1}^{3} \\ &=& \frac{1}{π} \left[ tan^{-1} 3 - tan^{-1} 1 \right] \\ &=& \frac{1}{π} \left[ tan^{-1} 3 - \frac{π}{4} \right] \\ &\fallingdotseq& 0.148 \tag{1} \end{eqnarray}}$

条件より、 $tan^{-1} 3 \fallingdotseq 1.249, π \fallingdotseq 3.140$ を用いた。

[2]検定力（1-β）の導出

検出力とは、1から第二種の過誤確率（β）を引いた値。第二種の過誤確率とは、対立仮説（ $H_1$ ）が正しいにもかかわらず帰無仮説（ $H_0$ ）が棄却できない確率。 $β = P(R^c|H_1)$ と表すことができる。[1]と同様に、

${\begin{eqnarray} 1-β &=& 1 - P(R^c|H_1) \\ &=& P(R|H_1) \\ &=& \int_{1}^{3} \frac{1}{π\{1+(x-1)^2\}}dx \\ &=& \int_{0}^{2} \frac{1}{π\{1+u^2\}}du \\ &=& \frac{1}{π} \left[ tan^{-1} u\right]_{0}^{2} \\ &=& \frac{1}{π} \left[ tan^{-1}2 - tan^{-1} 0\right] \\ &=& \frac{1}{π} tan^{-1}2 \\ &\fallingdotseq& 0.352 \tag{2} \end{eqnarray}}$