【統計検定1級・過去問】統計数理（2019年11月問3）

[1]十分統計量の証明

[3]より $Y$ の密度関数 $g(y)=f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n|Y}(x_1,x_2,\cdots,x_n|y)$ は $θ$ を含まないため、
$Y$ は $θ$ に対する十分統計量である。

[2]確率密度関数の導出

$0 \leq θ \leq x$ として、 $Y$ の累積密度関数は、

${\begin{eqnarray} F_{Y}(x) &=& P(Y \leq x) \\ &=& P(\max(X_1,X_2,\cdots,X_n) \leq x) \\ &=& P(X_1 \leq x \cap X_2 \leq x \cap \cdots \cap X_n \leq x ) \\ &=& P(X_1 \leq x) P(X_2 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) \\ 　 &=& (P(X_1 \leq x))^n \\ &=& \left(\int_0^{x} \frac{1}{θ} dx\right)^n \\ &=& \left( \frac{x}{θ} \right)^n \tag{1} \end{eqnarray}}$

(1)の両辺を $x$ で微分すると、

${\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} F_Y(x) &=& \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{θ} \right)^n \\ &=& \frac{n}{θ} x^{n-1} \tag{2} \end{eqnarray}}$

したがって、 $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ は、 $0 < y < θ$ の範囲で $\frac{n}{θ} y^{n-1}$ 。

[3]条件付き同時密度関数

同時密度関数の定義より、
${\begin{eqnarray} f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n|Y}(x_1,x_2,\cdots,x_n|y) &=& \frac{f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n,Y}(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)}{f_Y(y)} \\ &=& \frac{f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n}(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{f_Y(y)} \\ &=& \frac{(\frac{1}{θ})^n}{\frac{n}{θ^n}y^{n-1}} \\ &=& \frac{1}{ny^{n-1}} \tag{3} \end{eqnarray}}$

ただし $y$ の取り得る範囲は、
${\begin{eqnarray} y &=& x_1 \cap 0 \leq x_2,x_3,\cdots, x_n \leq y, \\ y &=& x_1 \cap 0 \leq x_2,x_3,\cdots, x_n \leq y, \\ &\vdots& \\ y &=& x_1 \cap 0 \leq x_2,x_3,\cdots, x_n \leq y \\ \tag{4} \end{eqnarray}}$

(3)の2つ目の等号では、 $y = \max(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 、
つまり $y$ は $x_1,x_2,\cdots,x_n$ が与えられると自動的に決定するため、密度関数より除いてもよい。

[4]不偏推定量

[2]より、

${\begin{eqnarray} E[Y] &=& \int_{0}^θ y\frac{n}{θ^n}y^{n-1} dx \\ &=& \frac{n}{θ^n} \int_{0}^θ y^{n} dx \\ &=& \frac{n}{θ^n} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{θ} \\ &=& \frac{n}{n+1} θ \tag{5} \end{eqnarray}}$

(5)より、 $E[\frac{n+1}{n} Y] = θ$ なので、 $\tilde{θ} = \frac{n+1}{n}Y$ とおけば、 $\tilde{θ}$ は $θ$ の不偏推定量となる。

[5]不偏推定量

$E[u(Y)] = 0$ なので、

${\begin{eqnarray} E[u(Y)] &=& \int_{0}^θ u(x) \frac{n}{θ^n} x^{n-1} dx \\ &=& \frac{n}{θ^n} \int_{θ}^{0} u(x) x^{n-1} dx \\ &=& 0 \tag{6} \end{eqnarray}}$