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【統計検定1級・過去問】統計数理(2019年11月 問3)

[1]十分統計量の証明

[3]よりYの密度関数g(y)=f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n|Y}(x_1,x_2,\cdots,x_n|y)θを含まないため、
Yθに対する十分統計量である。

[2]確率密度関数の導出

0 \leq θ \leq xとして、Yの累積密度関数は、

 {\begin{eqnarray}
F_{Y}(x) &=& P(Y \leq x) \\
            &=& P(\max(X_1,X_2,\cdots,X_n) \leq x) \\
            &=& P(X_1 \leq x \cap X_2 \leq x \cap \cdots \cap X_n \leq x ) \\
            &=& P(X_1 \leq x) P(X_2 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) \\
         &=& (P(X_1 \leq x))^n \\
            &=& \left(\int_0^{x} \frac{1}{θ} dx\right)^n \\
            &=& \left( \frac{x}{θ} \right)^n
\tag{1}
\end{eqnarray}}

(1)の両辺をx微分すると、

 {\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} F_Y(x) &=&  \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{θ} \right)^n \\
                             &=&  \frac{n}{θ} x^{n-1} 
\tag{2}
\end{eqnarray}}

したがって、Y確率密度関数g(y)は、0 < y < θの範囲で\frac{n}{θ} y^{n-1}

[3]条件付き同時密度関数

同時密度関数の定義より、
 {\begin{eqnarray}
f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n|Y}(x_1,x_2,\cdots,x_n|y) &=&  \frac{f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n,Y}(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)}{f_Y(y)}  \\
                                                                         &=&  \frac{f_{X1_1,X_2,\cdots,X_n}(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{f_Y(y)}  \\
                                                                         &=& \frac{(\frac{1}{θ})^n}{\frac{n}{θ^n}y^{n-1}} \\
                                                                         &=& \frac{1}{ny^{n-1}}
\tag{3}
\end{eqnarray}}

ただしyの取り得る範囲は、
 {\begin{eqnarray}
y &=& x_1 \cap 0 \leq x_2,x_3,\cdots, x_n \leq y, \\
y &=& x_1 \cap 0 \leq x_2,x_3,\cdots, x_n \leq y, \\
&\vdots&  \\
y &=& x_1 \cap 0 \leq x_2,x_3,\cdots, x_n \leq y \\
\tag{4}
\end{eqnarray}}

(3)の2つ目の等号では、y = \max(x_1,x_2,\cdots,x_n)
つまりyx_1,x_2,\cdots,x_nが与えられると自動的に決定するため、密度関数より除いてもよい。

[4]不偏推定量

[2]より、

 {\begin{eqnarray}
E[Y] &=& \int_{0}^θ y\frac{n}{θ^n}y^{n-1} dx \\
         &=&  \frac{n}{θ^n} \int_{0}^θ y^{n} dx \\
         &=&  \frac{n}{θ^n} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{θ} \\
         &=& \frac{n}{n+1} θ
\tag{5}
\end{eqnarray}}

(5)より、 E[\frac{n+1}{n} Y] = θなので、\tilde{θ} = \frac{n+1}{n}Yとおけば、\tilde{θ}θの不偏推定量となる。

[5]不偏推定量

E[u(Y)] = 0なので、

 {\begin{eqnarray}
E[u(Y)] &=& \int_{0}^θ u(x) \frac{n}{θ^n} x^{n-1} dx \\
              &=& \frac{n}{θ^n} \int_{θ}^{0} u(x) x^{n-1} dx \\
              &=& 0
\tag{6}
\end{eqnarray}}

(6)の両辺を微分すると、

 {\begin{eqnarray}
\frac{d}{dθ}E[u(Y)] &=& \frac{d}{dθ} \int_{0}^θ u(x) \frac{n}{θ^n} x^{n-1} dx \\
                                &=& u(θ) θ^{n-1} 
\tag{7}
\end{eqnarray}}

条件よりθ^{n-1}>0なので、u(Y) = 0

[6]不偏推定量の十分性・完備性

S(Y)θの他の不偏推定量とする。すなわちE[S(Y)]=θ。このとき、

 {\begin{eqnarray}
E[S(Y)-\tildeθ] &=& θ - θ \\
                          &=& 0 
\tag{8}
\end{eqnarray}}

(8)が任意のθについて成立するので、θは唯一のYの関数としてのθの不偏推定量

参考文献

日本統計学会公式認定 統計検定 1級・準1級 公式問題集[2018〜2019年]

日本統計学会公式認定 統計検定 1級・準1級 公式問題集[2018〜2019年]

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弱点克服 大学生の確率・統計

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