確率分布の定義は教科書に載っていない

シグマインベストメントスクールの統計講座で聞いた興味深い話。
多くの統計学の教科書には確率分布の定義が書いていないらしい（なぜなら厳密な定義は数学的に難しいから）。

離散変数、例えば確率変数 $X$ がサイコロの目だとすると、確率分布は確率変数 $X$ と確率 $P$ の表の形で表現される。

$X$	1	2	3	4	5	6
$p$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

連続変数の場合、確率分布は確率変数 $X$ が区間 $a \leq X \leq b$ に含まれる確率 $P(a \leq X \leq b)$ を規定する関数。確率分布を表現（計算）する方法として、
① $X$ の確率密度関数で積分する、

$\int_a^{b} f_X(x)dx$

② $X$ の累積分布関数の差分を取る、

$P(X \leq b) - P(X \leq a) = F_X(b) - F_X(a)$

の2通りの方法がある。ただし、これはどちらも確率分布の表現であって、定義ではない。

定義を理解するためには、ルベーグ測度を学ぶ必要があるけれど、少しオーバー。。

Goodな生活