【統計検定準1級】時系列解析（3） MA過程

移動平均過程（MA過程）
- MA過程の具体例
参考

移動平均過程（MA過程）

AR過程と異なり、 $y_t$ が現在と過去の誤差項の加重和の線形結合で表される系列を、移動平均過程（Moving Average；MA process）という。1次のMA過程（MA(1)）は、 $u_t$ をホワイトノイズとして、

$\begin{eqnarray} y_t = μ + u_t + θ_1 u_{t-1} \tag{1} \end{eqnarray}$

両辺の期待値を取ると $E[y_t] = μ$ となり、分散は

$\begin{eqnarray} V[y_t] &=& γ(0) \\ &=& E[( u_t + θ_1 u_{t-1})^2 ] \\ &=& E[u^2_t + 2θ_1 u_t u_{t-1} + θ^2_1 ] \\ &=& σ^2 + 2θ_1 E[u_t u_{t-1} ] + θ^2_1 σ^2 \\ &=& (1+θ^2_1) σ^2 \tag{2} \\ \\ γ(0) &=& E[(u_t + θ_1 u_{t-1})(u_{t-1} + θ_1 u_{t-2}) ] \\ &=& E[u_t u_{t-1}] + θ_1 E[u_t u_{t-2}] + θ_1 E[u^2_{t-1}] + θ^2_1 E[u_{t-1} u_{t-2}] \\ &=& θ_1 σ^2 \tag{3} \end{eqnarray}$

2次以降の自己共分散は0となる。AR過程と同様にMA過程もより一般的にはq次の移動平均過程（MA(q)）を考えることができ、

$\begin{eqnarray} y_t = μ + u_t + θ_1 u_{t-1} + \cdots + θ_q u_{t-q} \tag{4} \end{eqnarray}$

平均は $E[y_t] = μ$ 。自己共分散は、

${ \begin{eqnarray} γ(h) &=& \left\{\begin{array}{l} (1 + θ^2_1 + \cdots + θ^2_q) & (h =0) \\ (θ_h + θ_1 θ_{h+1} + \cdots + θ_{q-h} θ_q) & (1 \leq h \leq q) \\ 0 & (h > q) \end{array} \right. \tag{5} \end{eqnarray} }$

となる。MA(q)過程は共分散定常である。

MA過程の具体例

沖本（2010）に従い、(1)のMA(1)過程の挙動を確認する。(1)のうち、パラメータは $μ,θ_1,σ$ である。いくつかのパラメータを組み合わせ、以下(a)～(f)のAR(1)過程を生成する。

(a)～(f)のいずれの系列も $μ$ の周りを変動している。また $θ_1$ が正のとき $θ_1$ の値が大きくなるほど、MA(1)過程が正の自己相関をもつためグラフが滑らかになる。一方、 $θ_1$ が負のとき、負の自己相関が生じ、 $θ_1$ の値が-1に近づくほど負の自己相関が強くなるためグラフがギザギザする。