対数正規分布の平均と分散

はじめに

対数正規分布の平均と分散の導出についてのメモ。

はじめに
密度関数
平均
分散
参考文献

密度関数

対数正規分布は、対数をとると正規分布に従う確率変数 $x$ が従う密度関数である。つまり $X=\log{x}$ が正規分布に従う。 $X$ の密度関数は以下のようになる。

${ \begin{eqnarray} f(X) &=& \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{\frac{-(X-μ)^2}{2σ^2}\right\} \tag{1}\\ \end{eqnarray} }$

確率変数の変換に用いるヤコビアンは $\frac{dX}{dx}=\frac{1}{x}$ なので、 $x$ の密度関数は以下のようになる。

${ \begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp\left\{\frac{-(\log x-μ)^2}{2σ^2}\right\} , (0 < x) \tag{2}\\ \end{eqnarray} }$

負の数の対数は（実数の範囲では）扱えないため、 $0 < x$ の条件が必要*1。

平均

定義より、 $x$ の平均は以下のように表される。

${ \begin{eqnarray} E(x) &=& \int_0^\infty x \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp\left\{\frac{-(\log x-μ)^2}{2σ^2}\right\}dx \tag{3}\\ \end{eqnarray} }$

$x$ から $t$ への変数変換を行う。 $t$ の取りえる範囲が $-\infty$ から $\infty$ になることに注意したい。

${ \begin{eqnarray} \log x &=& t \tag{4}\\ x &=& e^t\tag{5} \\ \end{eqnarray} }$

(5)の両辺を微分すると、

${ \begin{eqnarray} dx &=& e^t dt \tag{6}\\ \end{eqnarray} }$

(3)に(4),(5),(6)を代入すると、

${ \begin{eqnarray} E(x) &=& \int_{-\infty}^\infty exp\left\{t\right\}\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{\frac{-(t-μ)^2}{2σ^2}\right\}dt \\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{t -\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}\right\} dt \\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{-\frac{1}{2σ^2}\left\{\left(t-(μ+σ^2)\right)^2 - 2μσ^2 - σ^4 \right\}\right\} dt \\ &=& exp \left\{μ+\frac{σ^2}{2}\right\} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{-\frac{1}{2σ^2}\left(t-(μ+σ^2)\right)^2 \right\} dt \\ &=& exp \left\{μ+\frac{σ^2}{2}\right\} \tag{7}\\ \end{eqnarray} }$

最後の等号は、「平均 $μ+σ^2$ の正規分布の密度関数の総和は1」という性質を用いている。
(7)は正規分布のモーメント母関数と一致する。*2

分散

分散の導出には以下の関係式を用いる。

${ \begin{eqnarray} V(x) &=& E(x^2) - \left(E(x)\right)^2 \tag{8}\\ \end{eqnarray} }$

$E(x)$ はすでに導出したため、 $E(x^2)$ を求める。
$E(x)$ の計算と同様に、 $x$ から $t$ への変数変換を行うと、

${ \begin{eqnarray} E(x^2) &=& \int_{-\infty}^\infty exp\left\{2t\right\}\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{\frac{-(t-μ)^2}{2σ^2}\right\}dt \\ &=& exp \left\{2μ+2σ^2\right\} \tag{9} \end{eqnarray} }$

となる。ここで(8)を用いると、

${ \begin{eqnarray} V(x) &=& exp \left\{2μ+2σ^2\right\} - \left\{exp \left\{μ+\frac{σ^2}{2}\right\}\right\}^2 \\ &=& \left(exp\left\{σ^2\right\} -1\right) \left(exp \left\{2μ+σ^2\right\}\right) \tag{10}\\ \end{eqnarray} }$