Goodな生活

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対数正規分布の平均と分散

はじめに

対数正規分布の平均と分散の導出についてのメモ。

密度関数

対数正規分布は、横軸を対数軸にすると正規分布になる密度関数である。つまり確率変数X=\log{x}正規分布に従う。Xの密度関数は以下のように表すことができる。

 {
\begin{eqnarray}
f(X) &=& \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{\frac{-(X-μ)^2}{2σ^2}\right\} \tag{1}\\
\end{eqnarray}
}

確率変数の変換に用いるヤコビアン\frac{dX}{dx}=\frac{1}{x}である。これを用い、xの密度関数は以下のように表すことができる。

 {
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp\left\{\frac{-(\log x-μ)^2}{2σ^2}\right\} , 0 < x \tag{2}\\
\end{eqnarray}
}

負の数の対数は(実数の範囲では)扱えないため、0 < xの条件が必要になる。

平均

定義より、xの平均は以下のように表される。

 {
\begin{eqnarray}
E(x) &=& \int_0^\infty x \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp\left\{\frac{-(\log x-μ)^2}{2σ^2}\right\}dx \tag{3}\\
\end{eqnarray}
}

積分を行うため、xからtへの変数変換を行う。tの取りえる範囲が-\inftyから\inftyになることに注意したい。

 {
\begin{eqnarray}
\log x &=& t \tag{4}\\
x &=& e^t\tag{5} \\
\end{eqnarray}
}

(5)の両辺を微分すると、

 {
\begin{eqnarray}
dx &=& e^t dt \tag{6}\\
\end{eqnarray}
}

(3)に(4),(5),(6)を代入すると、

 {
\begin{eqnarray}
E(x) &=& \int_{-\infty}^\infty  exp\left\{t\right\}\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{\frac{-(t-μ)^2}{2σ^2}\right\}dt \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{t -\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}\right\} dt \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2π}σ}  exp\left\{-\frac{1}{2σ^2}\left\{\left(t-(μ+σ^2)\right)^2 - 2μσ^2 - σ^4 \right\}\right\} dt \\
&=& exp \left\{μ+\frac{σ^2}{2}\right\} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{-\frac{1}{2σ^2}\left(t-(μ+σ^2)\right)^2 \right\} dt \\
&=& exp \left\{μ+\frac{σ^2}{2}\right\} \tag{7}\\
\end{eqnarray}
}

最後の等号は、「平均μ+σ^2正規分布の密度関数の総和は1」という性質を用いている。
(7)は正規分布のモーメント母関数と一致する。

分散

分散の導出には、計算の便宜上、以下の関係式を用いる。

 {
\begin{eqnarray}
V(x) &=& E(x^2) - \left(E(x)\right)^2 \tag{8}\\
\end{eqnarray}
}

E(x)はすでに導出したため、E(x^2)を求める。
E(x)の計算と同様に、xからtへの変数変換を行うと、

 {
\begin{eqnarray}
E(x^2) &=& \int_{-\infty}^\infty  exp\left\{2t\right\}\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp\left\{\frac{-(t-μ)^2}{2σ^2}\right\}dt \\
&=&  exp \left\{2μ+2σ^2\right\} \tag{9}
\end{eqnarray}
}

となる。ここで(8)を用いると、

 {
\begin{eqnarray}
V(x) &=& exp \left\{2μ+2σ^2\right\} - \left\{exp \left\{μ+\frac{σ^2}{2}\right\}\right\}^2 \\
 &=& \left(exp\left\{σ^2\right\} -1\right) \left(exp \left\{2μ+σ^2\right\}\right) \tag{10}\\
\end{eqnarray}
}

分散を求めることができた。

参考文献

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

  • 発売日: 1991/07/09
  • メディア: 単行本
確率と統計 (現代基礎数学)

確率と統計 (現代基礎数学)