Goodな生活

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インデックス集合

定義

インデックス集合(index set)とは「集合が他の集合の要素になる」集合。

具体例ーベキ(冪)集合

集合Sn個の要素をもつとき、ベキ集合\mathcal P (S)はちょうど2^n個の要素をもつ集合になる。
ベキ集合とは、与えられた集合からその部分集合の全体として作り出される集合である。

集合Sが集合の集合(コレクション)であるとき、Sを集合族(Family Of Sets)と呼ぶ。

また、ある集合Aの要素\alphaに対して集合S_{\alpha}が一つ定まる場合に、その仕組み全体を、S_{\alpha} \in Aと表記し、Aをインデックス集合とする一つのインデックス集合族(インデックス集合のコレクション)と呼ぶ。

インデックス集合族の和集合

インデックス集合族の和集合

少なくとも一つのS_{\alpha}に属する要素全体の集合

 {
 \begin{eqnarray}
\cup_{\alpha \in A} S_{\alpha} = \{ x \in \mathbb{R}^{n} | \exists \alpha \in A, x \in S_{\alpha} \}
\end{eqnarray}}

インデックス集合族の共通集合

インデックス集合族の共通集合
S_{\alpha}にもれなく属する要素全体の集合

 {
 \begin{eqnarray}
\cap_{\alpha \in A} S_{\alpha} = \{ x \in \mathbb{R}^{n} | \forall \alpha \in A, x \in S_{\alpha} \}
\end{eqnarray}}