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コーシー・シュバルツの不等式

コーシー・シュバルツの不等式

すべての実数空間上の点x,y \in \mathbb{R}^{n}について、次が成り立つ。

 {
 \begin{eqnarray}
 |(x,y) | \leq \|x\|\|y\| \tag{1}
\end{eqnarray}}


\|x\|はベクトルxの長さであり、ノルムと呼ばれる。一次元実数空間の絶対値|x|を一般化したもの。

証明

以下の2次方程式を考える。\sum_{i=1}^{N}(t x_i - y_i)^2 = 0 \tag{2}

展開すると、 (\sum_{i=1}^{N}x_i^2)t^2 - 2(\sum_{i=1}^{N}x_iy_i)t +  (\sum_{i=1}^{N}y_i^2) \geq 0 \tag{3}となるため、判別式より、

 \begin{eqnarray}
\frac{D}{4} = (\sum_{i=1}^{N}x_iy_i)^2 - (\sum_{i=1}^{N}x_i^2)(\sum_{i=1}^{N}y_i^2) \leq 0 \tag{4} \\
\left(\sum_{i=1}^{N}(x_iy_i)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{N}(x_i)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \left(\sum_{i=1}^{N}(y_i)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \tag{5}
\end{eqnarray}

となり、(5)は(1)と同義である。

幾何学的な理解

ベクトルの内積の定義を使えば、不等式が成立するのは自明だと理解できる。

 {
 \begin{eqnarray}
(\vec{x} \cdot \vec{y})^2 &\leq& |\vec{x}|^2 |\vec{y}|^2 \tag{6} \\
\because \vec{x} \cdot \vec{y} &=& |\vec{x}||\vec{y}|\cos \theta, (|\cos \theta| \leq 1) \tag{7}
\end{eqnarray}}

相関係数への応用

相関係数が-1から1の範囲をとる、のもコーシー・シュバルツの不等式によるものである。


 {
 \begin{eqnarray}
\{E[(x-μ_x)(y-μ_y)]\}^2 \leq E[(x-μ_x)^2]E[(y-μ_y)^2] \tag{8}
\end{eqnarray}}


(8)の左辺はx,yの共分散、右辺はx,yの分散の積である。