2018-08-14 コーシー・シュバルツの不等式 数学 コーシー・シュバルツの不等式 すべての実数空間上の点について、次が成り立つ。 はベクトルxの長さであり、ノルムと呼ばれる。一次元実数空間の絶対値を一般化したもの。 証明 以下の2次方程式を考える。展開すると、となるため、判別式より、 となり、(5)は(1)と同義である。 幾何学的な理解 ベクトルの内積の定義を使えば、不等式が成立するのは自明だと理解できる。 相関係数への応用 相関係数が-1から1の範囲をとる、のもコーシー・シュバルツの不等式によるものである。 (8)の左辺はの共分散、右辺はの分散の積である。