コーシー・シュバルツの不等式

すべての実数空間上の点 $x,y \in \mathbb{R}^{n}$ について、次が成り立つ。

${ \begin{eqnarray} |(x,y) | \leq \|x\|\|y\| \tag{1} \end{eqnarray}}$

$\|x\|$ はベクトルxの長さであり、ノルムと呼ばれる。一次元実数空間の絶対値 $|x|$ を一般化したもの。

証明

以下の2次方程式を考える。 $\sum_{i=1}^{N}(t x_i - y_i)^2 = 0 \tag{2}$

展開すると、 $(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)t^2 - 2(\sum_{i=1}^{N}x_iy_i)t + (\sum_{i=1}^{N}y_i^2) \geq 0 \tag{3}$ となるため、判別式より、
$\begin{eqnarray} \frac{D}{4} = (\sum_{i=1}^{N}x_iy_i)^2 - (\sum_{i=1}^{N}x_i^2)(\sum_{i=1}^{N}y_i^2) \leq 0 \tag{4} \\ \left(\sum_{i=1}^{N}(x_iy_i)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{N}(x_i)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \left(\sum_{i=1}^{N}(y_i)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \tag{5} \end{eqnarray}$

となり、(5)は(1)と同義である。

幾何学的な理解

ベクトルの内積の定義を使えば、不等式が成立するのは自明だと理解できる。

${ \begin{eqnarray} (\vec{x} \cdot \vec{y})^2 &\leq& |\vec{x}|^2 |\vec{y}|^2 \tag{6} \\ \because \vec{x} \cdot \vec{y} &=& |\vec{x}||\vec{y}|\cos \theta, (|\cos \theta| \leq 1) \tag{7} \end{eqnarray}}$