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ワイエルストラスの定理(コンパクト集合の性質)

コンパクト集合の性質について。

ワイエルストラスの定理

ワイエルストラスの定理は、
「集合 A \subset \mathbb{R}がコンパクトであるとき、\sup A \in A, \inf A \in Aが成立する」

\sup A \in A, \inf A \in Aが成立するとき、Aが上下に有界な集合であり、上界の最小数が\sup A(上限)、下界の最大数が\inf A(下限)である。つまりAの最大値と最小値が定義される。

証明

上限\sup AAに含まれる

条件よりAがコンパクトであるため、有界な集合である。このとき\{x_k\} \in Aには上限\sup Aが存在する。上限の定義より、以下が成立する。


 {
 \begin{eqnarray}
\forall x_k \leq \sup A\  \tag{1} \\
\forall  \epsilon > 0,\exists x_k \in A, \sup A - \epsilon < x_k  \tag{2}
\end{eqnarray}}


(2)を満たすx_kが存在するとき、\sup Aよりほんの少し小さい値である\sup A - \epsilon (\epsilon>0) Aの上界ではない。ここで\epsilon = \frac{1}{k}とすると、


 {
 \begin{eqnarray}
\forall k \geq k(\epsilon), |\sup A - x_k| < \frac{1}{k} < \frac{1}{k(\epsilon)} < \epsilon  \tag{3}  
\end{eqnarray}}

したがってx_k\sup Aに収束する。
x_kA上の点列である。A閉集合であるため、x_kの極限はAに含まれる。したがって\sup A \in Aが示された。

下限\inf A \in AAに含まれる

(1)(2)を以下のように書き換えればよい。

 {
 \begin{eqnarray}
 \inf A\ \leq \forall x_k   \tag{4} \\
\epsilon > 0,\exists x_k \in A,  x_k <  \inf A + \epsilon  \tag{5} 
\end{eqnarray}}

と変えればよい。
(5)を満たすx_kが存在するとき、\inf Aよりも少しでも大きな値はx_kの下限ではない。上限の場合と同様に、収束先がAに含まれることを示せばよい。