有界な集合、コンパクト集合について。
定理(Sundaram(1996) Theorem 1.21)
Theorem 1.21
A setis compact if and only if it is closed and bounded.
有界な集合とコンパクト集合の定義
集合 が有界であるとき、
が成立する。原点
を中心とする開球に、
が完全に含まれることを意味する。例えば整数の集合などは有界ではない。
集合 がコンパクトであるとき、
を満たすすべての点列
について、
に収束する部分列
が存在する。集合内のすべての点列が、集合内の点に収束する部分列を持つことを意味する。
証明
集合がコンパクトだとする。
このときが有界ではない、と仮定すると、
を満たすような点列
が存在するが、この点列は収束先を持たないため、
がコンパクトであることと矛盾。
したがっては有界である。
同様にが閉集合ではない、と仮定すると、
に収束する点列
について、
となるが、これは
がコンパクトであることと矛盾。
したがっては閉集合である。
参考文献

A First Course in Optimization Theory (English Edition)
- 作者:Sundaram, Rangarajan K.
- 発売日: 1996/06/13
- メディア: Kindle版