有界な集合とコンパクト集合

有界な集合、コンパクト集合について。

定理（Sundaram(1996) Theorem 1.21）

Theorem 1.21
A set is compact if and only if it is closed and bounded.

集合 がコンパクトであるとき、有界かつ閉集合である。

有界な集合とコンパクト集合の定義

集合 が有界であるとき、が成立する。原点を中心とする開球に、が完全に含まれることを意味する。例えば整数の集合などは有界ではない。

集合 がコンパクトであるとき、を満たすすべての点列について、に収束する部分列が存在する。集合内のすべての点列が、集合内の点に収束する部分列を持つことを意味する。

証明

集合がコンパクトだとする。

このときが有界ではない、と仮定すると、を満たすような点列が存在するが、この点列は収束先を持たないため、がコンパクトであることと矛盾。
したがっては有界である。

同様にが閉集合ではない、と仮定すると、に収束する点列について、となるが、これはがコンパクトであることと矛盾。
したがっては閉集合である。

参考文献

A First Course in Optimization Theory (English Edition)