Goodな生活

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有界な集合とコンパクト集合

有界な集合、コンパクト集合についてのメモ。Sundaramの定理1.21の証明。

定理

A set S \subset \mathbb{R}^{n} is compact if and only if it is closed and bounded.

集合 Sがコンパクトであるとき、有界かつ閉集合である。

有界な集合とコンパクト集合の定義

集合 S \subset \mathbb{R}^{n}有界であるとき、\exists r >0, S \subset B(0,r)が成立する。原点0を中心とする開球に、Sが完全に含まれることを意味する。例えば整数の集合などは有界ではない。

集合 S \subset \mathbb{R}^{n}がコンパクトであるとき、x_k \in Sを満たすすべての点列\{x_k\}について、x \in Sに収束する部分列\{x_m(k)\}が存在する。集合内のすべての点列が、集合内の点に収束する部分列を持つことを意味する。

証明

集合Sがコンパクトだとする。

このときS有界ではない、と仮定すると、\forall k, |x_k| > kを満たすような点列\{x_k\} \subset Sが存在するが、この点列は収束先を持たないため、Sがコンパクトであることと矛盾。
\therefore S有界である。

同様にS閉集合ではない、と仮定すると、xに収束する点列\{x_k\} \subset Sについて、x \not\in Sとなるが、これはSがコンパクトであることと矛盾。
\therefore S閉集合である。

参考文献