有界な集合とコンパクト集合

有界な集合、コンパクト集合についてのメモ。Sundaramの定理1.21の証明。

定理

A set $S \subset \mathbb{R}^{n}$ is compact if and only if it is closed and bounded.

集合 $S$ がコンパクトであるとき、有界かつ閉集合である。

有界な集合とコンパクト集合の定義

集合 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ が有界であるとき、 $\exists r >0, S \subset B(0,r)$ が成立する。原点 $0$ を中心とする開球に、 $S$ が完全に含まれることを意味する。例えば整数の集合などは有界ではない。

集合 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ がコンパクトであるとき、 $x_k \in S$ を満たすすべての点列 $\{x_k\}$ について、 $x \in S$ に収束する部分列 $\{x_m(k)\}$ が存在する。集合内のすべての点列が、集合内の点に収束する部分列を持つことを意味する。