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閉集合の性質

数学

閉集合の性質について。閉集合に含まれる点列は極限に収束する、という性質を持つ。

定理（Sundaram(1996) Theorem 1.20）

Theorem 1.20
A set $S \subset \mathbb{R}^{n}$ is closed if and only if for all sequences $\{x_k\}$ such that $\{x_k\} \in S$ for each $k$ and $x_k \rightarrow x$ , it is the case that $x \in S$ .

集合 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ が閉集合であるとき、任意の $k$ について $\{x_k\} \in S$ を満たす点列が $x$ に収束するならば、 $x \in S$ が成立する。
また、 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ 上の任意の収束列について、極限 $x$ が $x \in S$ を満たすならば、集合 $S$ は閉集合である。

証明

$\Rightarrow$

集合 $S$ は閉集合、 $S$ に含まれる点列 $\{x_k\}$ の収束先が $x$ だと仮定する。ここで同時に $x \not\in S$ と仮定し、矛盾を示す。

$x \not\in S$ より $x \in S^c$ となるが、 $S$ は閉集合であるため、 $S^c$ は開集合となる。開集合の定義より、

$\begin{eqnarray} \forall x \in S^c, \exists r >0, s.t. B(x ,r) \subset S^c　\tag{1} \end{eqnarray}$

が成立する。

条件より、 $\{x_k\}$ が $x$ に収束するため、

$\begin{eqnarray} \exists k(r), \forall k > k(r), |x_k - x| < r, x_k \in B(x ,r) \subset S^c　\tag{2} \end{eqnarray}$

が成立するが、これは $\{x_k\}$ が $S$ に含まれることと矛盾する。
したがって、 $x$ は $S$ に含まれる。

$\Leftarrow$

$S$ 上の任意の収束列 $\{x_k\}$ が $x$ に収束し、かつ $x$ が $S$ に含まれると仮定する。ここで同時に $S$ が閉集合ではないと仮定し、矛盾を示す。

$S$ が閉集合ではない場合、同じく $S^c$ は開集合ではない。開集合の定義の否定を作ることで、

$\begin{eqnarray} \exists x \in S^c, \forall r >0, s.t. B(x ,r) \not\subset S^c, B(x ,r) \subset S　\tag{3} \end{eqnarray}$

が成立する。

ここで $r = \frac{1}{k}$ とすると、
$\begin{eqnarray}\forall k, |x_k - x| < r = \frac{1}{k}　\tag{4} \end{eqnarray}$

を定めることができる。

(4)より、 $\{x_k\}$ は $x$ に収束し、 $x$ は $S$ に含まれることが示されるが、これは $x \in S^c$ と矛盾。
したがって、 $S$ は閉集合である。

この定理は、集合 $S$ から取り出した任意の収束列の極限は $S$ に属することを示している。

参考文献

A First Course in Optimization Theory (English Edition)

A First Course in Optimization Theory (English Edition)

作者:Sundaram, Rangarajan K.
発売日: 1996/06/13
メディア: Kindle版