Goodな生活

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環境エネルギー分野のシンクタンク職員による統計学や計量経済学のメモ、読んだ本、たまに登山や音楽の話。

閉集合の性質

閉集合の性質について。閉集合に含まれる点列は極限に収束する、という性質を持つ。

定理(Sundaram(1996) Theorem 1.20)

Theorem 1.20
A set S \subset \mathbb{R}^{n} is closed if and only if for all sequences \{x_k\} such that \{x_k\} \in S for each k and x_k \rightarrow x, it is the case that x \in S.

集合 S \subset \mathbb{R}^{n}閉集合であるとき、任意の kについて\{x_k\} \in Sを満たす点列がxに収束するならば、x \in Sが成立する。
また、S \subset \mathbb{R}^{n}上の任意の収束列について、極限xx \in Sを満たすならば、集合S閉集合である。

証明

\Rightarrow

集合S閉集合Sに含まれる点列\{x_k\}の収束先がxだと仮定する。ここで同時にx \not\in Sと仮定し、矛盾を示す。

x \not\in Sよりx \in S^cとなるが、S閉集合であるため、S^cは開集合となる。開集合の定義より、



 \begin{eqnarray}
\forall x \in S^c,  \exists r >0, s.t. B(x ,r) \subset S^c \tag{1}
 \end{eqnarray}

が成立する。

条件より、\{x_k\}xに収束するため、


 \begin{eqnarray}
\exists k(r), \forall k > k(r), |x_k - x| < r,    x_k \in B(x ,r) \subset S^c \tag{2}
 \end{eqnarray}


が成立するが、これは \{x_k\}Sに含まれることと矛盾する。
したがって、xSに含まれる。

\Leftarrow

S上の任意の収束列\{x_k\}xに収束し、かつxSに含まれると仮定する。ここで同時にS閉集合ではないと仮定し、矛盾を示す。

S閉集合ではない場合、同じくS^cは開集合ではない。開集合の定義の否定を作ることで、



 \begin{eqnarray}
\exists x \in S^c,  \forall r >0, s.t. B(x ,r) \not\subset S^c, B(x ,r) \subset S \tag{3}
 \end{eqnarray}

が成立する。

ここでr = \frac{1}{k}とすると、

 \begin{eqnarray}\forall k, |x_k - x| < r = \frac{1}{k} \tag{4}
 \end{eqnarray}

を定めることができる。

(4)より、\{x_k\} xに収束し、x Sに含まれることが示されるが、これはx \in S^cと矛盾。
したがって、S閉集合である。

この定理は、集合Sから取り出した任意の収束列の極限はSに属することを示している。

参考文献