Goodな生活

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2017年、新卒で民間シンクタンク入社。学んだこと、考えたことの記録。

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閉集合の性質

閉集合の性質についてのメモ。Sundaramの定理1.20の証明。ある集合が閉集合であるとき、集合に含まれる点列が極限に収束する、という性質を持つ。

定理

A set S \subset \mathbb{R}^{n} is closed if and only if for all sequences \{x_k\} such that \{x_k\} \in S for each k and x_k \rightarrow x, it is the case that x \in S.

集合 S \subset \mathbb{R}^{n}閉集合であるとき、任意の kについて\{x_k\} \in Sを満たす点列がx(limit point)に収束するならば、x \in Sが成立する。
逆に、S \subset \mathbb{R}^{n}上の任意の収束列について、極限xx \in Sを満たすならば、集合S閉集合である。

証明

\Rightarrow
集合S閉集合、収束列\{x_k\} \in S \rightarrow xだとする。ここでx \not\in Sと仮定して矛盾を示す。
上式よりx \in S^cであるが、S閉集合であるため、S^cは開集合となる。開集合の定義より、


 \begin{eqnarray}
\forall x \in S^c,  \exists r >0, s.t. B(x ,r) \subset S^c
 \end{eqnarray}

が成立する。
条件より\{x_k\}  \rightarrow xであるため、

 \begin{eqnarray}
\exists k(r), \forall k > k(r), |x_k - x| < r,    x_k \in B(x ,r) \subset S^c
 \end{eqnarray}

が成立するが、これは \{x_k\}S上の点列であることと矛盾する。
\therefore x \in S 

\Leftarrow
S上の任意の収束列について、\{x_k\} \in S \rightarrow x、かつx \in Sだと仮定する。ここでS閉集合ではないと仮定して矛盾を示す。
S閉集合ではない場合、S^cは開集合ではない。開集合の定義の否定を作ることによって、

 \begin{eqnarray}
\exists x \in S^c,  \forall r >0, s.t. B(x ,r) \not\subset S^c, B(x ,r) \subset S
 \end{eqnarray}
が成立する。

ここでr = \frac{1}{k}とすると、
\forall k, |x_k - x| < r = \frac{1}{k}を定めることができる。\{x_k\} \in S \rightarrow xにより、
\{x_k\} xに収束するため、x \in Sとならなければいけないが、これはx \in S^cと矛盾。
\therefore S閉集合である。

この定理は、Sから取り出した任意の収束列の極限はSに属することを示している。

参考文献