閉集合の性質 - Goodな生活

閉集合の性質についてのメモ。Sundaramの定理1.20の証明。ある集合が閉集合であるとき、集合に含まれる点列が極限に収束する、という性質を持つ。

定理

A set $S \subset \mathbb{R}^{n}$ is closed if and only if for all sequences $\{x_k\}$ such that $\{x_k\} \in S$ for each $k$ and $x_k \rightarrow x$ , it is the case that $x \in S$ .

集合 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ が閉集合であるとき、任意の $k$ について $\{x_k\} \in S$ を満たす点列が $x$ (limit point)に収束するならば、 $x \in S$ が成立する。
逆に、 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ 上の任意の収束列について、極限 $x$ が $x \in S$ を満たすならば、集合 $S$ は閉集合である。

証明

$\Rightarrow$
集合 $S$ は閉集合、収束列 $\{x_k\} \in S \rightarrow x$ だとする。ここで $x \not\in S$ と仮定して矛盾を示す。
上式より $x \in S^c$ であるが、 $S$ は閉集合であるため、 $S^c$ は開集合となる。開集合の定義より、

$\begin{eqnarray} \forall x \in S^c, \exists r >0, s.t. B(x ,r) \subset S^c \end{eqnarray}$

が成立する。
条件より $\{x_k\} \rightarrow x$ であるため、
$\begin{eqnarray} \exists k(r), \forall k > k(r), |x_k - x| < r, x_k \in B(x ,r) \subset S^c \end{eqnarray}$

が成立するが、これは $\{x_k\}$ が $S$ 上の点列であることと矛盾する。
$\therefore$ 　 $x \in S$ 　

$\Leftarrow$
$S$ 上の任意の収束列について、 $\{x_k\} \in S \rightarrow x$ 、かつ $x \in S$ だと仮定する。ここで $S$ が閉集合ではないと仮定して矛盾を示す。
$S$ が閉集合ではない場合、 $S^c$ は開集合ではない。開集合の定義の否定を作ることによって、
$\begin{eqnarray} \exists x \in S^c, \forall r >0, s.t. B(x ,r) \not\subset S^c, B(x ,r) \subset S \end{eqnarray}$
が成立する。

ここで $r = \frac{1}{k}$ とすると、
$\forall k, |x_k - x| < r = \frac{1}{k}$ を定めることができる。 $\{x_k\} \in S \rightarrow x$ により、
$\{x_k\}$ は $x$ に収束するため、 $x \in S$ とならなければいけないが、これは $x \in S^c$ と矛盾。
$\therefore$ 　 $S$ は閉集合である。