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閉集合の性質

数学

閉集合の性質について。閉集合に含まれる点列は極限に収束する、という性質を持つ。

定理（Sundaram(1996) Theorem 1.20）

Theorem 1.20
A set S \subset \mathbb{R}^{n} is closed if and only if for all sequences \{x_k\} such that \{x_k\} \in S for each k and x_k \rightarrow x, it is the case that x \in S.

集合 S \subset \mathbb{R}^{n}が閉集合であるとき、任意の kについて\{x_k\} \in Sを満たす点列がxに収束するならば、x \in Sが成立する。
また、S \subset \mathbb{R}^{n}上の任意の収束列について、極限xがx \in Sを満たすならば、集合Sは閉集合である。

証明

\Rightarrow

集合Sは閉集合、Sに含まれる点列\{x_k\}の収束先がxだと仮定する。ここで同時にx \not\in Sと仮定し、矛盾を示す。

x \not\in Sよりx \in S^cとなるが、Sは閉集合であるため、S^cは開集合となる。開集合の定義より、


\begin{eqnarray} \forall x \in S^c, \exists r >0, s.t. B(x ,r) \subset S^c　\tag{1} \end{eqnarray}

が成立する。

条件より、\{x_k\}が xに収束するため、

\begin{eqnarray} \exists k(r), \forall k > k(r), |x_k - x| < r, x_k \in B(x ,r) \subset S^c　\tag{2} \end{eqnarray}


が成立するが、これは \{x_k\}がSに含まれることと矛盾する。
したがって、xはSに含まれる。

\Leftarrow

S上の任意の収束列\{x_k\}がxに収束し、かつxがSに含まれると仮定する。ここで同時にSが閉集合ではないと仮定し、矛盾を示す。

Sが閉集合ではない場合、同じくS^cは開集合ではない。開集合の定義の否定を作ることで、


\begin{eqnarray} \exists x \in S^c, \forall r >0, s.t. B(x ,r) \not\subset S^c, B(x ,r) \subset S　\tag{3} \end{eqnarray}

が成立する。

ここでr = \frac{1}{k}とすると、
\begin{eqnarray}\forall k, |x_k - x| < r = \frac{1}{k}　\tag{4} \end{eqnarray}

を定めることができる。

(4)より、\{x_k\} はxに収束し、xは Sに含まれることが示されるが、これはx \in S^cと矛盾。
したがって、Sは閉集合である。

この定理は、集合Sから取り出した任意の収束列の極限はSに属することを示している。

参考文献

A First Course in Optimization Theory (English Edition)

A First Course in Optimization Theory (English Edition)

大学数学
経済数学
Sundaram

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