Goodな生活

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それは、いきあたりばっちりな人生。being good and haphazard.

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球と集合

球と集合について簡単なメモ。

球の定義

開球(open ball)

実数空間上\mathbb{R}^{n}の中心xと半径r > 0に対して、以下で定義される集合。


 {
 \begin{eqnarray}
 B(x ,r) = \{ y \in \mathbb{R}^{n} | d(x,y) < r \}\tag{1}
\end{eqnarray}
}

言い換えれば、xからの距離が厳密にrより小さくなるような実数空間\mathbb{R}^{n}における点の集合である。

(1)の不等号を等号に変えると、閉球(closed ball)の定義が得られる。

閉球(closed ball)

実数空間上\mathbb{R}^{n}の中心xと半径r > 0に対して、以下で定義される集合。


 {
 \begin{eqnarray}
 \overline{B}(x ,r) = \{ y \in \mathbb{R}^{n} | d(x,y) \leq r \}\tag{2}
\end{eqnarray}
}

集合の定義

開集合(open set)

集合S \in \mathbb{R}^{n} が開集合であるとき、実数空間上\mathbb{R}^{n}の中心xと半径r > 0に対して、
以下が成立する。


 {
 \begin{eqnarray}
\forall x \in S,  \exists r >0, B(x ,r) \subset S \tag{3}
\end{eqnarray}
}

xを中心として、どんなに小さな半径r > 0をとったとしても、中心xと半径r > 0によって定義される開球がSの内部に含まれる、すなわち部分集合になることを意味する。

集合S \in \mathbb{R}^{n} 閉集合であるとき、Sの補集合であるS^{c}は、S^{c} = \{ x \in \mathbb{R}^{n} |  x \not\in S\} を満たし、開集合となる。

開集合の例(\mathbb{R}^{n}\phi

実数空間全体の集合\mathbb{R}^{n}

実数空間上の任意の点a \in \mathbb{R}^{n}、ある点δについて、B(a ,δ) \subset \mathbb{R}^{n} を示せばよい。
δ=1のとき、a+1\mathbb{R}^{n}に含まれる。したがって\mathbb{R}^{n}は開集合である。

空集合\phi

空集合の任意の点a \in \phi、ある点δについて、B(a ,δ) \subset \phi を示せばよい。
この場合a \in \phiを満たすaは存在しないため、

 {
 \begin{eqnarray}
 \forall a  \in  \phi,  \exists δ > 0, B_\delta (a) = \{ x \in \mathbb{R}^{n} | d(a,x) \leq \delta \} \subset \phi \tag{4}
\end{eqnarray}}


いかなる場合も(4)は成立し、開集合となる。