球と集合について。
球の定義
開球(open ball)
開球は、実数空間上の中心
と半径
に対して、以下で定義される集合。
言い換えれば、からの距離が厳密に
より小さくなるような実数空間における点の集合である。
(1)の不等号を等号に変えると、閉球(closed ball)の定義が得られる。
集合の定義
開集合(open set)
集合が開集合であるとき、実数空間上
の中心
と半径
に対して、以下が成立する。
開集合は、を中心として、どんなに小さな半径
をとったとしても、中心
と半径
によって定義される開球が
の内部に含まれる、すなわち部分集合になる。
集合が閉集合であるとき、
の補集合である
は、
を満たし、開集合となる。