球と集合 - Goodな生活

球と集合について簡単なメモ。

球の定義

開球(open ball)
実数空間上 $\mathbb{R}^{n}$ の中心 $x$ と半径 $r > 0$ に対して、以下で定義される集合。

${ \begin{eqnarray} 　B(x ,r) = \{ y \in \mathbb{R}^{n} | d(x,y) < r \}\tag{1} \end{eqnarray} }$

言い換えれば、 $x$ からの距離が厳密に $r$ より小さくなるような実数空間 $\mathbb{R}^{n}$ における点の集合である。

(1)の不等号を等号に変えると、閉球(closed ball)の定義が得られる。

閉球(closed ball)
実数空間上 $\mathbb{R}^{n}$ の中心 $x$ と半径 $r > 0$ に対して、以下で定義される集合。

${ \begin{eqnarray} 　\overline{B}(x ,r) = \{ y \in \mathbb{R}^{n} | d(x,y) \leq r \}\tag{2} \end{eqnarray} }$

集合の定義

開集合（open set）
集合 $S \in \mathbb{R}^{n}$ が開集合であるとき、実数空間上 $\mathbb{R}^{n}$ の中心 $x$ と半径 $r > 0$ に対して、
以下が成立する。

${ \begin{eqnarray} \forall x \in S, \exists r >0, B(x ,r) \subset S \tag{3} \end{eqnarray} }$

$x$ を中心として、どんなに小さな半径 $r > 0$ をとったとしても、中心 $x$ と半径 $r > 0$ によって定義される開球が $S$ の内部に含まれる、すなわち部分集合になることを意味する。

集合 $S \in \mathbb{R}^{n}$ が閉集合であるとき、 $S$ の補集合である $S^{c}$ は、 $S^{c} = \{ x \in \mathbb{R}^{n} | x \not\in S\}$ を満たし、開集合となる。

開集合の例（ $\mathbb{R}^{n}$ と $\phi$ ）

実数空間全体の集合 $\mathbb{R}^{n}$

実数空間上の任意の点 $a \in \mathbb{R}^{n}$ 、ある点 $δ$ について、 $B(a ,δ) \subset \mathbb{R}^{n}$ を示せばよい。
$δ=1$ のとき、 $a+1$ も $\mathbb{R}^{n}$ に含まれる。したがって $\mathbb{R}^{n}$ は開集合である。

空集合 $\phi$

空集合の任意の点 $a \in \phi$ 、ある点 $δ$ について、 $B(a ,δ) \subset \phi$ を示せばよい。
この場合 $a \in \phi$ を満たす $a$ は存在しないため、

${ \begin{eqnarray} 　\forall a \in \phi, \exists δ > 0, B_\delta (a) = \{ x \in \mathbb{R}^{n} | d(a,x) \leq \delta \} \subset \phi \tag{4} \end{eqnarray}}$