部分列の収束 - Goodな生活

部分列の収束の定理に関するメモ。Sundaram の Theorem 1.7の証明。

定理

実数空間 $\mathbb{R}^{n}$ における点列 $x^k$ が点 $x$ に収束するとき、
各座標 $i \in \{1, \cdots , n\}$ について　 ${x_i}^k \rightarrow x_i$ が成立する。逆も然り。
ここで点 $x$ はn次元ベクトルである

証明

証明には、ユークリッド距離の定義を用いる。ユークリッド距離とは、1次元空間における距離 $|x - y|$ を $n$ 次元空間に一般化したものである。

${ \begin{eqnarray} 　|x - y| = \Bigl(\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \tag{1} \end{eqnarray} }$

$\Rightarrow$
${x}^k \rightarrow x$ だと仮定する。

${ \begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall k > M, |x^k - x| < \epsilon \\ \end{eqnarray} }$

${x_i}^k \rightarrow x_i$ を示す。

${ \begin{eqnarray} |{x_i}^k - x_i| &=& ( |{x_i}^k - x_i|^2)^\frac{1}{2} \\ &\leq& \Bigl( |{x_1}^k - x_1|^2 + |{x_2}^k - x_2|^2 + \cdots + |{x_n}^k - x_n|^2 \Bigr)^\frac{1}{2} \\ &=& \Bigl(\sum_{j=1}^n ({x_j}^k - x_j)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\ &=& |x^k - x| < \epsilon \\ \therefore　{x_i}^k \rightarrow x_i \end{eqnarray} }$

$\Leftarrow$
${x_i}^k \rightarrow x_i$ だと仮定する。

${ \begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0,\exists k_i(\epsilon) >0,\forall k \geq k_i(\eta)\\ \forall i, |{x_i}^k - x_i| &<& \eta = \frac{\epsilon}{\sqrt{n}} \end{eqnarray} }$

${x}^k \rightarrow x$ を示す。

${ \begin{eqnarray} |x^k - x| &=& \Bigl(\sum_{i=1}^n ({x_i}^k - x_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\ &<& \bigl(\sum_{i=1}^n [\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}]^2 \bigr)^\frac{1}{2} = \epsilon \\ \therefore　{x}^k \rightarrow x \end{eqnarray} }$

参考文献

A First Course in Optimization Theory

作者:Sundaram, Rangarajan K.
発売日: 1996/08/29
メディア: ペーパーバック