部分列の収束の定理に関するメモ。
定理(Sundaram(1996) Theorem1.7)
Theorem 1.7
A sequencein
converges to a limit
if and only if
for each
,where
and
次元ベクトル
が
に収束するのは、各座標
についても
が
に収束する場合のみである。
証明
証明には、ユークリッド距離の定義を用いる。ユークリッド距離とは、1次元空間における距離を
次元空間に一般化したもの。
(
ならば
)
だと仮定すると、以下のように表せる。(※
は収束の意)
ここでと
の距離を表すと、
したがって、を示すことができた。
(
ならば
)
だと仮定すると、以下のように表せる。
と
の距離を表すと、
したがって、を示すことができた。
参考文献

A First Course in Optimization Theory
- 作者:Sundaram, Rangarajan K.
- 発売日: 1996/08/29
- メディア: ペーパーバック