部分列の収束の定理

部分列の収束の定理に関するメモ。

定理（Sundaram(1996) Theorem1.7）

Theorem 1.7
A sequence $\{x^k\}$ in $\mathbb{R}^{n}$ converges to a limit $x$ if and only if ${x_i}^k \rightarrow x_i$ for each $i \in \{1,\cdots,n\}$ ,where $x^k = (x_1^k,\cdots,x_n^k)$ and $x = (x_1, \cdots , x_n)$

$n$ 次元ベクトル $x^k$ が $x$ に収束するのは、各座標 $i \in \{1, \cdots , n\}$ についても ${x_i^k}$ が $x_i$ に収束する場合のみである。

証明

証明には、ユークリッド距離の定義を用いる。ユークリッド距離とは、1次元空間における距離 $|x - y|$ を $n$ 次元空間に一般化したもの。

${ \begin{eqnarray} 　|x - y| = \Bigl(\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \tag{1} \end{eqnarray} }$

$\Rightarrow$ （ ${x}^k \rightarrow x$ ならば ${x_i}^k \rightarrow x_i$ ）

${x}^k \rightarrow x$ だと仮定すると、以下のように表せる。（※ $\rightarrow$ は収束の意）

${ \begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall k > M, |x^k - x| < \epsilon \tag{2} \end{eqnarray} }$

ここで ${x_i}^k$ と $x_i$ の距離を表すと、

${ \begin{eqnarray} |{x_i}^k - x_i| &=& ( |{x_i}^k - x_i|^2)^\frac{1}{2} \\ &\leq& \Bigl( |{x_1}^k - x_1|^2 + |{x_2}^k - x_2|^2 + \cdots + |{x_n}^k - x_n|^2 \Bigr)^\frac{1}{2} \\ &=& \Bigl(\sum_{j=1}^n ({x_j}^k - x_j)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\ &=& |x^k - x| < \epsilon \tag{3} \end{eqnarray} }$

したがって、 ${x_i}^k \rightarrow x_i$ を示すことができた。

$\Leftarrow$ （ ${x_i}^k \rightarrow x_i$ ならば ${x}^k \rightarrow x$ ）

${x_i}^k \rightarrow x_i$ だと仮定すると、以下のように表せる。

${ \begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0, \forall i, \exists k_i(\epsilon) >0,\forall k \geq k_i(\eta)\\ \\ |{x_i}^k - x_i| &<& \eta = \frac{\epsilon}{\sqrt{n}} \tag{4} \end{eqnarray} }$

${x}^k$ と $x$ の距離を表すと、

${ \begin{eqnarray} |x^k - x| &=& \Bigl(\sum_{i=1}^n ({x_i}^k - x_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\ &<& \bigl(\sum_{i=1}^n \left[\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right]^2 \bigr)^\frac{1}{2} = \epsilon \tag{5} \end{eqnarray} }$