Goodな生活

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2017年、新卒で民間シンクタンク入社。学んだこと、考えたことの記録。

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部分列の収束

部分列の収束の定理に関するメモ。Sundaram の Theorem 1.7の証明。

定理

実数空間\mathbb{R}^{n}における点列x^kが点xに収束するとき、
各座標 i \in \{1, \cdots , n\} について {x_i}^k  \rightarrow x_i が成立する。逆も然り。
ここで点xはn次元ベクトルである

証明

証明には、ユークリッド距離の定義を用いる。ユークリッド距離とは、1次元空間における距離|x - y| n次元空間に一般化したものである。

 {
 \begin{eqnarray}
 |x - y| = \Bigl(\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \tag{1}
\end{eqnarray}
}

\Rightarrow
{x}^k  \rightarrow x だと仮定する。

 {
 \begin{eqnarray} 
\forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall k > M,  |x^k - x| < \epsilon \\
\end{eqnarray}
}

{x_i}^k  \rightarrow x_iを示す。

 {
 \begin{eqnarray}
 |{x_i}^k - x_i| &=& ( |{x_i}^k - x_i|^2)^\frac{1}{2} \\
                      &\leq& \Bigl( |{x_1}^k - x_1|^2 + |{x_2}^k - x_2|^2 +  \cdots +  |{x_n}^k - x_n|^2     \Bigr)^\frac{1}{2} \\
                     &=& \Bigl(\sum_{j=1}^n ({x_j}^k - x_j)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\
                     &=& |x^k - x| < \epsilon \\
\therefore {x_i}^k  \rightarrow x_i

\end{eqnarray}
}

\Leftarrow
{x_i}^k  \rightarrow x_i だと仮定する。

 {
 \begin{eqnarray}
\forall \epsilon > 0,\exists k_i(\epsilon) >0,\forall k \geq k_i(\eta)\\
 \forall i,  |{x_i}^k - x_i| &<& \eta = \frac{\epsilon}{\sqrt{n}}  
\end{eqnarray}
}

{x}^k  \rightarrow x を示す。

 {
 \begin{eqnarray}
 |x^k - x| &=& \Bigl(\sum_{i=1}^n ({x_i}^k - x_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\
               &<& \bigl(\sum_{i=1}^n [\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}]^2 \bigr)^\frac{1}{2} = \epsilon \\
 \therefore {x}^k  \rightarrow x
\end{eqnarray}
}

参考文献

A First Course in Optimization Theory

A First Course in Optimization Theory