Goodな生活

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部分列の収束の定理

部分列の収束の定理に関するメモ。

定理(Sundaram(1996) Theorem1.7)

Theorem 1.7
A sequence \{x^k\} in \mathbb{R}^{n} converges to a limit x if and only if {x_i}^k  \rightarrow x_i for each  i \in \{1,\cdots,n\},where x^k = (x_1^k,\cdots,x_n^k) and x = (x_1, \cdots , x_n)

n次元ベクトルx^kxに収束するのは、各座標 i \in \{1, \cdots , n\} についても{x_i^k}x_i に収束する場合のみである。

証明

証明には、ユークリッド距離の定義を用いる。ユークリッド距離とは、1次元空間における距離|x - y| n次元空間に一般化したもの。


 {
 \begin{eqnarray}
 |x - y| = \Bigl(\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \tag{1}
\end{eqnarray}
}

\Rightarrow {x}^k  \rightarrow x ならば{x_i}^k  \rightarrow x_i

{x}^k  \rightarrow x だと仮定すると、以下のように表せる。(※ \rightarrowは収束の意)

 {
 \begin{eqnarray} 
\forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall k > M,  |x^k - x| < \epsilon \tag{2}
\end{eqnarray}
}

ここで{x_i}^kx_iの距離を表すと、

 {
 \begin{eqnarray}
 |{x_i}^k - x_i| &=& ( |{x_i}^k - x_i|^2)^\frac{1}{2} \\
                      &\leq& \Bigl( |{x_1}^k - x_1|^2 + |{x_2}^k - x_2|^2 +  \cdots +  |{x_n}^k - x_n|^2     \Bigr)^\frac{1}{2} \\
                     &=& \Bigl(\sum_{j=1}^n ({x_j}^k - x_j)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\
                     &=& |x^k - x| < \epsilon \tag{3}
\end{eqnarray}
}

したがって、{x_i}^k  \rightarrow x_iを示すことができた。

\Leftarrow {x_i}^k  \rightarrow x_iならば{x}^k  \rightarrow x

{x_i}^k  \rightarrow x_i だと仮定すると、以下のように表せる。

 {
 \begin{eqnarray}
\forall \epsilon > 0,  \forall i, \exists k_i(\epsilon) >0,\forall k \geq k_i(\eta)\\ \\
  |{x_i}^k - x_i| &<& \eta = \frac{\epsilon}{\sqrt{n}}  \tag{4}
\end{eqnarray}
}

{x}^k xの距離を表すと、

 {
 \begin{eqnarray}
 |x^k - x| &=& \Bigl(\sum_{i=1}^n ({x_i}^k - x_i)^2 \Bigr) ^\frac{1}{2} \\
               &<& \bigl(\sum_{i=1}^n \left[\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right]^2 \bigr)^\frac{1}{2} = \epsilon \tag{5}
\end{eqnarray}
}


したがって、{x}^k \rightarrow xを示すことができた。

参考文献

A First Course in Optimization Theory

A First Course in Optimization Theory