Goodな生活

Goodな生活

2017年、新卒で民間シンクタンク入社。学んだこと、考えたことの記録。

MENU

コーシー列の性質

コーシー列とは

コーシー列(Cauchy sequence)とは、n次元実数空間における数列x_nのうち、以下のような性質を満たす数列を指す。

 {
 \begin{eqnarray}
\forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall p,q > M, |x_p - x_q|  < \epsilon \tag{1}
\end{eqnarray}
}

この定義は、収束先(limit point)の情報を含まない。

収束する点列がコーシー列であることの証明


まず点列x_naに収束すると仮定する。

 {
 \begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty}x_n = a \tag{2}
\end{eqnarray}
}

n, p, qは任意の自然数とする。

 {
 \begin{eqnarray}
\forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall n > M, |x_n - a|  &<&  \frac{\epsilon}{2}  \tag{3}\\
\forall p > M, |x_p - a|  &<&  \frac{\epsilon}{2}  \tag{4}\\
\forall q > M, |x_q - a|  &<&  \frac{\epsilon}{2}  \tag{5}\\
\end{eqnarray}
}

ここでn = \max \{p,q\}とし、 n > Mを満たす、すべてのn \in \mathbb{R} について、

 {
 \begin{eqnarray}
  |x_p - x_q |  &=& |(x_p - a) - (x_q - a)| \\
                 &\leq&  |(x_p - a)| + |(x_q - a)| \\
                 &<& \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \tag{6}
\end{eqnarray}
}

(6)は、点列の十分後ろの方の点の間の距離がなくなっていく、ことを示している。収束先が明示的に示されずとも、点間の距離が縮まることで収束する、ということである。これによって収束列する点列x_nはコーシー列であることが示された。

参考文献

イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20)

イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20)

集合と位相 そのまま使える答えの書き方 (KS理工学専門書)

集合と位相 そのまま使える答えの書き方 (KS理工学専門書)

  • 発売日: 2001/04/25
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)