コーシー列の性質

コーシー列とは
収束する点列がコーシー列であることの証明
参考文献

コーシー列とは

コーシー列(Cauchy sequence)とは、 $n$ 次元実数空間における数列 $x_n$ のうち、以下のような性質を満たす数列を指す。

${ \begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall p,q > M, |x_p - x_q| < \epsilon \tag{1} \end{eqnarray} }$

この定義は、収束先（limit point）の情報を含まない。

収束する点列がコーシー列であることの証明

まず点列 $x_n$ が $a$ に収束すると仮定する。

${ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}x_n = a \tag{2} \end{eqnarray} }$

$n, p, q$ は任意の自然数とする。

${ \begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0,\exists M >0,\forall n > M, |x_n - a| &<& \frac{\epsilon}{2} \tag{3}\\ \forall p > M, |x_p - a| &<& \frac{\epsilon}{2} \tag{4}\\ \forall q > M, |x_q - a| &<& \frac{\epsilon}{2} \tag{5}\\ \end{eqnarray} }$

ここで $n = \max \{p,q\}$ とし、 $n > M$ を満たす、すべての $n \in \mathbb{R}$ について、

${ \begin{eqnarray} |x_p - x_q | &=& |(x_p - a) - (x_q - a)| \\ &\leq& |(x_p - a)| + |(x_q - a)| \\ &<& \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \tag{6} \end{eqnarray} }$