極限の一意性の証明

極限の一意性の証明について。極限とは、数列の収束先を表す。2通りの証明を考える。

数列の収束先が2つあると仮定し、矛盾を導く（背理法）

$n$ 次元実数空間における数列 $x_n$ がある値 $a$ に収束するとき、 $x_n$ が同時に $a$ ではない $b( b\not=a )$ に収束することの矛盾を示す。

${ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}x_n = a \tag{1} \\ \lim_{n \to \infty}x_n = b \tag{2} \end{eqnarray} }$

(1)が成立するとき、 $\forall \epsilon > 0, \exists M >0,$ $n > M$ を満たす、すべての $n \in \mathbb{R}$ について、 $|x_n - a| < \epsilon$ が成立する。

条件より $b\not=a$ 。三角不等式を用いて以下を表す。

${ \begin{eqnarray} 　|x_n - b| &<& |x_n - a| + |a - b|　\tag{3}\\ 　|x_n - b| &<& \epsilon + |a - b| \tag{4} \end{eqnarray} }$

(4)の右辺では、どれだけ小さな正の数 $\epsilon$ が与えられたとしても、 $|a - b|$ が $0$ にならない限りは、 $x_n$ は $b$ に収束せず、(2)は成立しない（矛盾）。逆に言えば $x_n$ が $b$ に収束するのは $|a - b| = 0$ すなわち $a = b$ が成立する場合のみである。したがって数列 $x_n$ がある値 $a$ に収束するとき、その収束先は一意である。

数列の収束先が2つあると仮定し、同一であることを示す

数列が２つの値に収束すると仮定し、その収束先が同一であることを示す。

$n$ 次元実数空間における数列 $x_n$ がある値 $a$ 、 $b$ に収束すると仮定する。

${ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}x_n &=& a \tag{5}　\\ \lim_{n \to \infty}x_n &=& b \tag{6} \end{eqnarray} }$

(5),(6) が成立するとき、
$\forall \epsilon > 0, \exists M1 >0,$ $n > M1$ を満たす、すべての $n \in \mathbb{R}$ について、 $|x_n - a| < \frac{\epsilon}{2}$ が成立し、
$\forall \epsilon > 0, \exists M2 >0,$ $n > M2$ を満たす、すべての $n \in \mathbb{R}$ について、 $|x_n - b| < \frac{\epsilon}{2}$ が成立する。

ここで $N = \max \{M1,M2\}$ とし、 $n > N$ を満たす、すべての $n \in \mathbb{R}$ について、

${ \begin{eqnarray} 　|a - b| &=& |a - x_n + x_n - b|　\\ 　 &\leq& |a - x_n| + |x_n - b|　\\ 　　　 &<& \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = {\epsilon} \tag{7} \end{eqnarray} }$