Goodな生活

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2017年、新卒で民間シンクタンク入社。学んだこと、考えたことの記録。

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統計学/数学

実数の連続性の公理

はじめに この記事では実数の連続性(continuity of real numbers)の公理について扱います。大学レベルの数学や大学院レベルの経済学を学ぶには、実数全体の集合をより厳密に定義する必要があります。高校数学では実数を「循環するものもしないものも含めた無…

ざっくり理解する中心極限定理

中心極限定理(central limit theorem ; CLT)と大数の法則との違い、証明、イメージについての簡単に書きました。

ざっくり理解するチェビシェフの不等式と大数の弱法則

はじめに この記事ではチェビシェフの不等式(Chebyshev's inequality)と大数の弱法則(Weak Law of Large Numbers:LLN)*1を扱います。内容の多くは東京大学出版の『統計学入門』第8章を参考にしています。チェビシェフの不等式を用いると、確率変数の従…

複素数の性質(ド・モアブルの定理)【第327回数学検定1級】

はじめに 先週の日曜日、数学検定を受験した。研究を続ける上での基礎体力として数学力を磨くことは必須である。個人で学習を進める上での目安や目標があった方が身に入ると思い、受験を決めた。受験後に解き方を調べたため、備忘のためのメモを書く。 問題 …

ガウス・マルコフの定理

『統計学入門』第13章の学習メモ。ガウス・マルコフの定理について。 定義 線形推定量とは 証明 補足 参考文献 定義 ガウス・マルコフの定理(Gauss Markov's theorem)最小二乗推定量(least squares estimator)は、線形不偏推定量のうち、最小の分散をもつ…

標本分散の不偏性

『統計学入門』第9章の学習メモ。標本分散(不偏分散)の不偏性について。 定義 不偏性の証明 よくわかっていないところ 参考文献 定義 標本分散(不偏分散)の定義は以下の通り。母分散と区別するためで表される。(1)の右辺の分母がであることに注意したい…

ポワソンの少数の法則

東京大学出版『統計学入門』第6章の学習メモ。ポワソンの少数の法則(law of small numbers)について。別名ポワソンの極限定理とも呼ばれる。 定義 証明 「少数の法則」の意味するところ 参考文献 定義 ポワソンの少数の法則の定義は以下の通り。二項分布の…

インデックス集合

定義 インデックス集合(index set)とは「集合が他の集合の要素になる」集合。 具体例ーベキ(冪)集合 集合が個の要素をもつとき、ベキ集合はちょうど個の要素をもつ集合になる。 ベキ集合とは、与えられた集合からその部分集合の全体として作り出される集…

最小二乗推定量の平均と分散

はじめに 最小二乗推定量の平均・分散の導出についてのメモ。 はじめに 平均 分散と共分散 補足 参考文献 単回帰モデルを仮定する。 (1)の、のOLS推定量(最小二乗推定量)は以下のように表される。 平均 、の平均を求める。 分散と共分散 続いて、の分散お…

コーシー・シュバルツの不等式

定理の内容 コーシー・シュバルツの不等式(Cauchy–Schwarz inequality)すべての実数空間上の点について、次が成り立つ。 はベクトルxの長さであり、ノルムと呼ばれる。 一次元実数空間の絶対値を一般化したものである。 証明 2次方程式を考える。上式を展…

閉集合の性質

ある集合が閉集合であるとき、集合に含まれる点列が極限に収束する、という性質を証明します。

有界な集合とコンパクト集合

有界な集合、コンパクト集合についてのメモ。Sundaramの定理1.21の証明。 定理 A set is compact if and only if it is closed and bounded. 集合 がコンパクトであるとき、有界かつ閉集合である。 有界な集合とコンパクト集合の定義 集合 が有界であるとき…

球と集合

球と集合について簡単なメモ。 球の定義 開球(open ball)実数空間上の中心と半径に対して、以下で定義される集合。 言い換えれば、からの距離が厳密により小さくなるような実数空間における点の集合である。(1)の不等号を等号に変えると、閉球(closed ball)…

極限の一意性

極限の一意性の証明についてのメモ。2通りの証明を考える。極限(limit)とは、数列の収束先を表す。 数列の収束先が2つあると仮定し、矛盾を導く(背理法) 数列の収束先が2つあると仮定し、同一であることを示す 参考文献 数列の収束先が2つあると仮定し、矛…

コーシー列の性質

コーシー列とは 収束する点列がコーシー列であることの証明 参考文献 コーシー列とは コーシー列(Cauchy sequence)とは、次元実数空間における数列のうち、以下のような性質を満たす数列を指す。この定義は、収束先(limit point)の情報を含まない。 収束す…

部分列の収束

部分列の収束の定理に関するメモ。Sundaram の Theorem 1.7の証明。 定理 実数空間における点列が点に収束するとき、 各座標 について が成立する。逆も然り。 ここで点はn次元ベクトルである 証明 証明には、ユークリッド距離の定義を用いる。ユークリッド…