[1] 確率変数の和の期待値 は独立なので、それぞれの平均を求めればよい。 部分積分を使うと、変数変換すると、ガンマ関数を使うことができる。も同じ期待値なので、 参考：指数関数とガンマ関数の性質 指数分布に従う確率変数のべき乗の期待値はガンマ関数…

[1] モーメント母関数による期待値と分散 [2]モーメント母関数による期待値と分散（二項分布） 別解：二項分布の再生性 [3] チェビシェフの不等式（離散型確率変数の場合） [4] 確率密度関数の最小値 別解：密度関数の対数微分 参考文献 [1] モーメント母関…

統計検定１級の学習メモ。代表的な確率分布について。 離散型確率分布 2項分布 ベルヌーイ試行とベルヌーイ分布 ベルヌーイ試行の一般化による2項分布の導出 最尤推定量 フィッシャー情報量 最尤推定量はUMVE 幾何分布 最尤推定量 ポアソン分布 ポアソン少数…

統計検定1級の学習メモです。 最尤推定量 クラメール・ラオの不等式と有効推定量 スコア関数とフィッシャー情報量 フィッシャー情報量の性質 クラメール・ラオの不等式 不等式の証明 参考 最尤推定量 確率密度関数をもつ母集団から得られた、個の標本に対し…

参考にした本 必要な準備 インストール データセットを読み込む フィルターをかける 一つの条件 複数条件の場合 条件の否定 グループごとに集計する カウントする 平均や分散を出す 複数の単位で集計 一回集計したあとに再度集計 条件下で新たな変数を作る …

はじめに この記事では時系列モデルにおける系列相関（serial correlation）の検定方法と、系列相関の疑いがあるときの対処法について扱います。ダービー・ワトソン（Durbin-Watoson）比（検定）、コクラン・オーカット法に関する、統計検定準1級レベルの内…

移動平均過程（MA過程） MA過程の具体例 参考 移動平均過程（MA過程） AR過程と異なり、が現在と過去の誤差項の加重和の線形結合で表される系列を、移動平均過程（Moving Average；MA process）という。1次のMA過程（MA(1)）は、をホワイトノイズとして、両…

自己回帰過程（AR過程） AR過程の具体例 参考 自己回帰過程（AR過程） 過去の観測値に依存する同一変数が従う過程が自己回帰過程（Autoregressive；AR process）である。現在の値（）を過去の値（）に回帰させ、p期前までの値に回帰させる場合は「p次のARモ…

時系列データとは 時系列データの基本統計量 平均・分散 自己共分散 定常性 弱定常過程の定義 強定常過程との違い ホワイトノイズ iid系列 参考文献 時系列データとは 時系列データ（time-series data）とは、時間の経過とともに観測されたデータ。毎月の消…

用語の定義 Estimand （推定対象）：関心のあるパラメータ Estimator（推定量）：Estimandを導出するためのアルゴリズム Estimates（推定値）：Estimatorの出力値 OLSにおけるEstimand, Estimator, Estimates 単回帰を最小二乗法（OLS）で推定する場合のEsti…

はじめに この記事では、ブラウン運動のさわりについて扱います。統計検定準1級の出題範囲のうち、確率過程の基礎に該当するトピックです。 小項目 項目例 確率過程の基礎 ランダムウォーク、ポワソン過程、ブラウン運動 はじめに ブラウン運動とは ブラウン…

はじめに この記事では、回帰分析を行うとき、誤差項の仮定が成立しているかどうかを評価する、回帰診断（regression diagnosis）について扱います。統計検定準1級レベルの内容です。 はじめに 誤差項の仮定 回帰診断 ①予測値に対する残差のプロット ②残差の…

はじめに この記事では実数の連続性(continuity of real numbers)の公理について扱います。高校数学では実数を「循環するものもしないものも含めた無限小数の全体」だと定義しました。この定義について、数直線上に書ける数、有理数と無理数を合わせた数、有…

2次元正規分布の導出方法と、2次元正規分布の条件付き確率分布の導出を扱います。統計検定準1級で頻出のテーマです。

中心極限定理（central limit theorem ; CLT）と大数の法則との違い、証明、イメージについての簡単に書きました。

はじめに この記事ではチェビシェフの不等式（Chebyshev's inequality）と大数の弱法則（Weak Law of Large Numbers：LLN）*1を扱います。内容の多くは東京大学出版の『統計学入門]』第8章を参考にしています。チェビシェフの不等式を用いると、確率変数の従…

対数正規分布の密度関数、平均、分散の求め方についてのメモです。

『統計学入門』第13章の学習メモ。ガウス・マルコフの定理について。 定義 線形推定量とは 分散が最小になることの証明 補足：分散を小さくする条件 参考文献 定義 最小二乗推定量(least squares estimator)は、線形不偏推定量のうち、最小の分散をもつ。 こ…

『統計学入門』第9章の学習メモ。標本分散（不偏分散）の不偏性について。 定義 不偏性の証明 参考文献 定義 標本分散（不偏分散）の定義は以下の通り。母分散と区別するため、で表される。(1)の右辺の分母が(n-1)なのは、の不偏性を担保するためである。 不…

東京大学出版『統計学入門』第6章の学習メモ。ポワソンの少数の法則（law of small numbers）について。別名ポワソンの極限定理とも呼ばれる。 定義 証明 少数の法則の意味 参考文献 定義 ポワソンの少数の法則は、二項分布の密度関数の極限をとると、ポワソ…

極限の一意性の証明について。極限とは、数列の収束先を表す。2通りの証明を考える。 数列の収束先が2つあると仮定し、矛盾を導く（背理法） 次元実数空間における数列がある値に収束するとき、が同時にではないに収束することの矛盾を示す。 (1)が成立する…